|
|||
Estimador pontual - Conceito
| Topo pág | Fim pág |Conforme pode ser verificado nas páginas sobre distribuições estatísticas, as funções básicas (de densidade e de distribuição) dependem sempre de um ou mais parâmetros. Exemplos: na distribuição exponencial, há o parâmetro λ; na distribuição normal, ocorrem os parâmetros μ e σ; etc.
Em muitos casos práticos, sabe-se o tipo de distribuição da população estudada e, portanto, o objetivo é determinar, a partir de uma amostra, os parâmetros para que essa distribuição fique perfeitamente definida.
Estimadores pontuais usam métodos que determinam valores (não faixa de valores) para parâmetros desconhecidos a partir dos dados da amostra.
Estimador pontual - Método dos momentos
| Topo pág | Fim pág |Seja uma variável aleatória X cuja distribuição estatística é dada pela função de densidade genérica:
f(x, θ1, θ2 ... θk). Onde θ1, θ2 ... θk são k parâmetros dessa função #A.1#.Seja também uma amostra de n elementos dessa população
x1, x2 ... xn.Se é feita a igualdade dos momentos da amostra e da população até os momentos de ordem k, o resultado é um sistema de k equações cuja solução pode dar os valores dos k parâmetros anteriores:
m'j = μ'j para j = 1, 2 ... k #B.1#.Exemplo 01: a distribuição gama é caracterizada pela função de densidade:
f(x) = [1 / Γ(α)] βα xα − 1 e−βx, tendo, portanto, os parâmetros α e β.A média da distribuição é
E(X) = μ'1 = α / β.A variância é
Var(X) = μ2 = μ'2 − (μ'1)2 = α / β2. Portanto,m'1 = (1/n) ∑ (xi) = μ'1 = α / β.m'2 = (1/n) ∑ (xi)2 = μ'2 = α / β2 + (μ'1)2 = α / β2 + α2 / β2.Resolvendo essas equações, chega-se aos resultados (usando a notação de estimador para α e β):
α^ = (m'1)2 / [ m'2 − (m'1)2 ]. #C.1#β^ = (m'1) / [ m'2 − (m'1)2 ]. #C.2#Exemplo 02: para a distribuição normal, a função de densidade é
f(x) = [ 1 / (σ √2π) ] e−(x − μ)² / (2 σ²) com os parâmetros:E(X) = μ'1 = μ.Var(X) = μ2 = μ'2 − (μ'1)2 = σ2.Igualando os momentos da população e da amostra,
m'1 = (1/n) ∑ (xi) = μ'1 = μ.m'2 = (1/n) ∑ (xi)2 = μ'2 = σ2 + (μ'1)2.Considerando as relações dadas na página anterior
s2 = m2 = m'2 − (m'1)2 e resolvendo as igualdades acima,μ^ = m'1 = (1/n) ∑ (xi) = x #D.1#.σ^2 = m2 = (1/n) ∑ (xi − x)2 #D.2#.Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Fev/2008
|
Melhor visto com 1024x768 px Termos de uso |
|
Referências: |
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/. |