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Momentos
| Topo pág | Fim pág |Para uma variável aleatória X (que é o caso de uma população), foi dada em página anterior a definição de momento de ordem k, simbolizado por E(Xk):
• Para o caso discreto:
E(Xk) = Σ (xi)k p(xi) , onde p(xi) é a função de probabilidade. #A.1#.• Para o caso contínuo:
E(Xk) = ∫−∞...+∞ xk f(x) dx , onde f(x) é a função de densidade de probabilidade. #A.2#.A esperança ou média μ é o momento de primeira ordem, ou seja,
μ = E(X) #B.1#.E o momento central de ordem k é o momento anterior em relação a essa média:
• Para o caso discreto:
E[ (X − μ)k ] = Σ (xi − μ)k p(xi) #C.1#.• Para o caso contínuo:
E[ (X − μ)k ] = ∫−∞...+∞ (x − μ)k f(x) dx #C.2#.É usual o símbolo μ acrescido de apóstrofo e índice k para o momento de ordem k e com apenas índice k para o momento central de ordem k, isto é,
μ'k = E[ Xk ] #D.1#.μk = E[ (X − μ)k ] #D.2#.Considerando agora uma amostra de n elementos
x1, x2 ... xn, usam-se os símbolos m'k e mk para os momentos dessa amostra:| m'k = | 1 | ∑ (xi)k | #E.1#. Momento de ordem k |
| n |
| mk = | 1 | ∑ (xi − x)k | #E.2#. Momento central de ordem k |
| n |
As seguintes igualdades são similares às igualdades já informadas para o caso de variável aleatória ou de população:
x = m'1 |
#F.1# |
m1 = 0 |
#F.2# |
s2 = m2 |
#G.1# |
s2 = m'2 − (m'1)2 |
#G.2# |
Para dados agrupados em m faixas, cada faixa com valor médio xi e freqüência relativa ri, o momento central de ordem k pode ser calculado por:
mk = ∑ (xi − x)k ri #H.1#.Assimetria
| Topo pág | Fim pág |É uma medida da igualdade ou da desigualdade da distribuição dos valores em torno de uma média.
Usam-se os símbolos γ1 e g1 para indicar referência a população e amostra respectivamente.
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| Figura 01 |
| γ1 = | μ3 | #A.1# | |
| (μ2)3/2 |
Onde μ3 e μ2 são os momentos centrais de terceira e de segunda ordem.
Para uma amostra, há fórmula similar:
| g1 = | m3 | #B.1# | |
| (m2)3/2 |
Uma distribuição cuja curva da função de densidade tem simetria geométrica em relação à média, tem assimetria nula. Exemplo conforme (b) da Figura 01.
Assimetria negativa significa valores concentrados à direita, conforme exemplo (c) da Figura 01. Em geral a média é menor que a mediana. Assimetria positiva significa valores concentrados à esquerda, conforme exemplo (a) da Figura 01. Em geral, a média é maior que a mediana.
Há também duas fórmulas simples, sugeridas por Karl Pearson, para a assimetria:
| μ − mo | #C.1#. Onde μ é média, mo é moda e s é desvio-padrão. | |
| s |
| 3 | μ − m | #C.2#. Onde μ é média, m é mediana e s é desvio-padrão. | |
| s |
Curtose
| Topo pág | Fim pág |Curtose é um indicador do achatamento da curva da função de densidade, significando valores mais altos para curvas afuniladas e mais baixos para curvas achatadas. É definida pela relação entre o momento central de quarta ordem e o quadrado do momento central de segunda ordem (ou o desvio-padrão elevado a quatro):
| β2 = | μ4 | = | μ4 | #1.1# | |
| (μ2)2 | σ4 |
Entretanto, desde que a distribuição normal padrão apresenta esse valor igual a 3, é mais usual indicar a curtose com referência a essa distribuição. E a denominação usual passa a ser excesso de curtose.
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| Figura 01 |
| γ2 | = | μ4 | − 3 = | μ4 | − 3 | #A.1# |
| (μ2)2 | σ4 |
Notar que é usado o mesmo símbolo da assimetria (γ), mas com índice 2.
Com a definição acima, a curtose da distribuição normal padrão fica nula e serve como referência.
Para uma amostra, o excesso de curtose é calculado por:
| g2 | = | m4 | − 3 = | m4 | − 3 | #B.1# |
| (m2)2 | s4 |
Os seguintes termos são usados para indicar a faixa do excesso de curtose de uma distribuição:
Positivo: Leptocúrtica. Exemplo em (a) da Figura 01. Nulo: Mesocúrtica . Exemplo em (b) da Figura 01. Negativo: Platicúrtica. Exemplo em (c) da Figura 01.
Exemplo de exercício (fonte: Inmetro 2007):
Um indicador W que mede a qualidade de determinado produto é uma variável aleatória contínua simetricamente distribuída em torno de 7. Tal indicador assume apenas valores positivos e em 75% dos casos seu valor é superior a 3. Com base nessas informações, julgue os itens subseqüentes.
87-) A curtose de W é igual a zero.
88-) A mediana de W é igual a 7.
89-) O terceiro quartil é igual a 3.
90-) A moda de W é igual à média da distribuição.
91-) A probabilidade de W ser maior que 14 é igual a zero.
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| Figura 02 |
Os dados informados não permitem calcular a curtose. Portanto, a questão (87) tem resposta Errado.
Se a distribuição de W é simétrica em torno de 7 a média é 7 e a mediana é igual. Questão (88) tem resposta Certo.
Se 75% dos valores são superiores a 3, os outros 25% são iguais ou inferiores. Assim, o primeiro quartil é 3, indicado pela área sombreada esquerda. O terceiro quartil é simétrico e igual a 11. Portanto, questão (89) tem resposta Errado.
A questão 90 pode enganar, uma vez que, para a curva simétrica da figura, a moda (valor mais freqüente) é igual à média. Mas a figura é apenas ilustrativa. Nada impede que, para os dados indicados, a distribuição tenha dois picos simétricos em torno da média e mais altos que o dela. Assim, a afirmação nem sempre é válida. Resposta Errado.
Se a distribuição é simétrica em torno de 7 e só tem valores positivos, é claro que o valor máximo acima de 7 é 14. E a probabilidade de W maior que 14 é nula. Portanto, questão 91 tem resposta Certo.
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