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Probabilidades e estatística III-10Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Medidas de localização (média, mediana, moda, ponto médio) | Medidas de dispersão (amplitude, desvio médio, variância, desvio-padrão, coeficiente de variação) | |
Medidas de localização
| Topo pág | Fim pág |São também denominadas medidas de tendência central. A média é, de longe, o parâmetro mais significativo e mais usado, mas há outros que serão vistos nos próximos itens.
Média
Seja uma amostra de n elementos
x1, x2 ... xn. A média ou valor médio é dada por:| x = | 1 | ∑i=1...n xi | #A.1# |
| n |
Exemplo: foram tomadas 8 medidas de um determinado comprimento com os resultados abaixo.
| x (mm) | 45,07 | 45,01 | 44,95 | 44,99 | 45,02 | 44,87 | 45,11 | 45,03 |
A média dos valores, calculada segundo #A.1#, é
x = 45,01 mm.Se os dados estão agrupados em m faixas, cada faixa com valor médio xi e freqüência relativa ri, a média do conjunto pode ser calculada por:
x ≈ ∑i=1...m xi ri #A.2#.Exemplo: a tabela abaixo indica os tempos de duração de um lote de 150 ferramentas usadas por uma máquina. Estão divididas em grupos de acordo com a duração média. Exemplo: 5 ferramentas duraram em média 55 horas, 7 ferramentas duraram em média 65 horas e assim sucessivamente.
| x (h) | 55 | 65 | 75 | 85 | 95 | 105 | 115 | 125 | 135 | 145 | 155 |
| a | 5 | 7 | 10 | 21 | 33 | 32 | 22 | 13 | 2 | 3 | 2 |
| r | 0,03 | 0,05 | 0,07 | 0,14 | 0,22 | 0,21 | 0,15 | 0,09 | 0,01 | 0,02 | 0,01 |
As freqüências relativas estão calculadas na linha r da tabela pela divisão da freqüência absoluta (linha a) pelo total (∑ a). Calculando pela fórmula #A.2#,
x = 99,3 h.Mediana
Seja uma amostra com n valores
x1, x2 ... xn em ordem crescente. A mediana m desses elementos é o valor em relação ao qual uma metade dos elementos tem valores menores e a outra metade tem valores maiores. É calculada por:| m = | xn/2 + x(n/2)+1 | #B.1#. Para n par. | |
| 2 |
m = x(n+1)/2 #B.2#. Para n ímpar.Exemplos:
• A amostra de valores
{3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 10} tem mediana 6.• A amostra
{4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15} tem mediana 10.Do conceito de percentil, visto na página anterior, pode-se concluir que a mediana equivale ao percentil 50 ou ao segundo quartil ou ao quinto decil.
Moda
É o valor que ocorre com mais freqüência. Usado apenas para análises qualitativas. Não é necessariamente único e pode não existir. A sua determinação é usualmente feita a partir de um histograma. Exemplos:
• A amostra
{3, 4, 9, 11, 12, 15} não tem moda.• A amostra
{2, 2, 3, 3, 5, 8, 8, 8, 12, 14} tem moda 8.• A amostra
{3, 4, 4, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 12, 14} tem modas 4 e 8.
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| Figura 01 |
Uma distribuição simétrica, como (b) da Figura 01, deve ter
média = mediana = moda #C.1#.
Uma distribuição concentrada à esquerda (a da figura) deve ter
moda < mediana < média #C.2#.E uma concentrada à direita (c da figura) deve ter
média < mediana < moda #C.3#.Ponto médio
É dado pela média aritmética entre o menor valor e o maior valor. Não é um indicador confiável. Normalmente, só é usado em casos nos quais o comportamento dos valores extremos é importante.
Medidas de dispersão
| Topo pág | Fim pág |Enquanto as medidas de localização dão idéia do local da concentração dos valores de uma amostra, as medidas de dispersão dão indicação da magnitude dessa concentração ou dispersão.
Amplitude
É dada pela diferença entre o maior valor e o menor. Portanto, para n valores
x1, x2 ... xn, a amplitude éA = max(xi) − min(xi) #A.1#.Desvio médio
É dado pela média dos desvios em relação à média da amostra.
Se x1, x2 ... xn são os valores,| DM = | 1 | ∑i=1...n (xi − x) | #B.1# |
| n |
Onde x é a média calculada conforme tópico anterior.
Se os dados estão agrupados em m faixas e cada faixa tem valor médio xi e freqüência relativa ri,
DM ≈ ∑i=1...m (xi − x) ri #B.2#. Onde x é a média calculada conforme tópico anterior.Variância
Para uma amostra de n elementos
x1, x2 ... xn, a variância é calculada por:| s2 | = | ∑i=1...n (xi − x)2 | #C.1# | |
| n − 1 |
Onde x é a média dos elementos determinada conforme tópico anterior.
A divisão por n − 1 e não por n ocorre para produzir uma estimativa melhor da variância real da população (em geral, os desvios das amostras tendem a ser menores que os das respectivas populações). Entretanto, se o tamanho da amostra é razoável, há pouca diferença entre dividir por n − 1 ou dividir por n, e ambas as formas podem ser usadas (é comum a notação sn2 para a variância da amostra calculada com a divisão por n).
Se os dados estão agrupados em m faixas e cada faixa tem valor médio xi e freqüência relativa ri,
s2 ≈ [ ∑i=1...n (xi − x)2 ri ] #C.3#.Exemplo 01: para a tabela do tópico anterior,
| x (mm) | 45,07 | 45,01 | 44,95 | 44,99 | 45,02 | 44,87 | 45,11 | 45,03 |
a variância calculada é
s2 ≈ 0,00537 segundo fórmula #C.1#.Exemplo 02: para a segunda tabela do tópico anterior,
| x (h) | 55 | 65 | 75 | 85 | 95 | 105 | 115 | 125 | 135 | 145 | 155 |
| a | 5 | 7 | 10 | 21 | 33 | 32 | 22 | 13 | 2 | 3 | 2 |
| r | 0,03 | 0,05 | 0,07 | 0,14 | 0,22 | 0,21 | 0,15 | 0,09 | 0,01 | 0,02 | 0,01 |
a variância calculada é
s2 ≈ 380,51 segundo fórmula #C.3#.Desvio-padrão
É definido pela raiz quadrada da variância e simbolizado por s. Portanto,
s = √s2 #D.1#, onde s2 é a variância conforme item anterior.Coeficiente de variação
É um parâmetro definido pela relação entre o desvio-padrão e a média:
| CV = | s | #E.1# | |
| x |
Entretanto, a sua aplicação é limitada. Não há sentido se a média é igual a ou próxima de zero.
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