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Probabilidades e estatística II-50Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Algumas questões de provas |
Exemplo 01 (fonte: prova analista TCU 1999)
Um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um número par é 3/5, é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é:
(a) 1/5 (b) 3/10 (c) 2/5 (d) 3/5 (e) 7/10
Solução:
Se a probabilidade de número par no dado é 3/5, a de número ímpar é P(ímpar) = 1 − 3/5 = 2/5.
Para a moeda ideal (não viciada) a probabilidade de coroa é P(coroa) = 1/2.
Os eventos não são mutuamente exclusivos porque podem ocorrer ao mesmo tempo. A questão pede a probabilidade de um ou outro, isto é, da união dos subconjuntos que contêm cada evento.
Usando a fórmula já vista, P(ímpar
coroa) = P(ímpar) + P(coroa) − P(ímpar 
coroa).A probabilidade da interseção (última parcela) é dada pelo produto das probabilidades individuais porque os eventos são independentes.
Portanto, P(ímpar
coroa) = 2/5 + 1/2 − 2/5 1/2 = 4/10 + 5/10 − 2/10 = 7/10. Resposta correta (e).Exemplo 02 (fonte: prova Inmetro 2001, questão 15)
Texto CE-I - questões 15 e 16 - A portaria INMETRO 74/1995 estabelece critérios para a verificação do conteúdo de produtos embalados sem a presença do consumidor e que tenham peso líquido previamente impresso nas embalagens. Um lote de N unidades é submetido a verificação mediante o exame de uma amostra aleatória simples, sem reposição, de tamanho n. O lote é aprovado quando a amostra escolhida satisfaz, simultaneamente, as condições seguintes:
(I) um critério de aceitação para a média x.
(II) um critério individual pelo qual a amostra pode conter no máximo c unidades abaixo de
(Qn − T), em que Qn é o peso líquido indicado na embalagem e T é uma tolerância individual cujo valor depende de Qn e é especificado na portaria.A tabela abaixo (adaptada) descreve o tamanho amostral n e os dois critérios de aceitação, para diferentes tamanhos do lote N, em que a média amostral
x = ∑i=1...n xi / n, o desvio-padrão da amostra s = ∑i=1...n (xi − x)2 / (n − 1) e x1, x2 ... xn são os conteúdos efetivos dos produtos incluídos na amostra.| Tamanho | Critério de aceitação | ||
| Do lote (N) | Da amostra (n) | Para a média | Individual (c) |
| 50 a 149 | 20 | x ≥ Qn − 0,640 s | 1 |
| 150 a 4 000 | 32 | x ≥ Qn − 0,485 s | 2 |
| 4 001 a 10 000 | 81 | x ≥ Qn − 0,295 s | 5 |
Com referência ao texto CE-I, suponha que um lote de N = 96 unidades contenha exatamente duas unidades com peso inferior a
(Qn − T). Segundo a portaria, o critério de aceitação individual é satisfeito quando a amostra aleatória simples, sem reposição, de n = 20 unidades, contém no máximo uma unidade com peso inferior a (Qn − T). Nessas condições, a probabilidade de que seja escolhida uma amostra que não satisfaça o critério de aceitação individual é:(a) inferior a 0,01 (b) superior a 0,01 e inferior a 0,05 (c) superior a 0,05 e inferior a 0,10 (d) superior a 0,10 e inferior a 0,20 (e) superior a 0,20
Solução:
A questão afirma que o lote de 96 unidades tem duas com peso inferior ao limite do critério. Então, uma amostra com 20 unidades pode ter nenhuma, uma ou duas unidades com peso inferior. Se a aceitação se dá com no máximo 1 amostra com peso inferior, o problema se resume em determinar a probabilidade de se retirar desse lote uma amostra de 20 unidades com duas de peso inferior.
O número total de amostras diferentes que podem ser retiradas é 96C20. Para ter 2 com peso inferior, as amostras terão sempre essas unidades, restando combinações de 20 − 2 = 18 unidades entre 96 − 2 = 94 unidades do lote, ou seja, 94C18. Então a probabilidade mencionada é a relação entre as combinações:
P = 94C18 /96C20.Agora, é uma questão de cálculo:
| P = | 94! / [ (94 − 18)! 18! ] | = | 94! / ( 76! 18! ) | = | 94! 20! | = | 94! 20 19 18! | = | 20 19 | = | 4 19 | = | 1 | ≈ | 0,042. |
| 96! / [ (96 − 20)! 20! ] | 96! / ( 76! 20!) | 96! 18! | 96 95 94! 18! | 96 95 | 96 19 | 24 |
Resposta (b).
Exemplo 02 (fonte: prova Inmetro 2001, questão 16)
| Probabilidades acumuladas f(z) da distribuição normal padrão | |||||
| z | 1,282 | 1,645 | 1,960 | 2,326 | 2,576 |
| f(z) | 0,900 | 0,950 | 0,975 | 0,990 | 0,995 |
Ainda com relação ao texto CE-I, considere que um lote de N = 10.000 unidades, do qual foi coletada conseqüentemente uma amostra de tamanho n = 81, tenha peso líquido médio das unidades do lote igual a μ. Nessa situação, um intervalo de confiança aproximado para μ pode ser definido como
x ± z s / √ n, em que z é um valor convenientemente escolhido da tabela da distribuição normal padrão.
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| Figura 01 |
Qn ≤ x + 0,295 s , isto é, o peso líquido indicado na embalagem não pode ser maior que o limite superior do intervalo x ± 0,295 s.Para
N = 10.000 e n = 81, assumindo que a aproximação normal indicada acima é correta e usando os valores escolhidos da tabela normal fornecidos acima, o nível de confiança associado ao intervalo [x − 0,295 s, x + 0,295 s] é:(a) menor ou igual a 80% (b) maior que 80% e menor ou igual a 85% (c) maior que 85% e menor ou igual a 90% (d) maior que 90% e menor ou igual a 95% (e) maior que 95%
Solução:
Se o intervalo é definido por
x ± z s / √ n, para [x − 0,295 s, x + 0,295 s] deve-se ter:z s / √ n = 0,295 s com n = 81.Simplificando e calculando,
z = 0,295 9 = 2,655.De acordo com a tabela dada, deve-se ter f(z) maior que 0,995 para esse valor de z. Então, a probabilidade de valores acima de
x + 0,295 s é menor que 1 − 0,995 = 0,005 ou 0,5%.Desde que a curva normal é simétrica, a probabilidade de valores abaixo de
x − 0,295 s é também menor que 0,5%.Somando ambas, a probabilidade de valores fora da faixa é menor que 1% ou a probabilidade de valores dentro da faixa maior que 99%. Resposta (e).
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