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Probabilidades e estatística II-42
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Tabela da distribuição normal padrão |
Tabela da distribuição normal padrão
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Conforme visto em página anterior, a distribuição normal padrão é a distribuição normal com o parâmetro média considerado nulo (μ = 0) e o parâmetro desvio-padrão considerado unitário (σ = 1). Nessa condição, a função de densidade, simbolizada por φ(z), fica simplificada para:
#A.1#
Lembrando agora a relação entre função de distribuição (F) e função de densidade (f),
#B.1#
O símbolo f corresponde ao φ anterior. É usado o símbolo Φ no lugar de F para a distribuição normal padrão. Assim a probabilidade de ocorrência de valores menores ou iguais a um valor genérico z dessa distribuição é dada por:
#C.1#
Isso representa a área (entre −∞ e z) sob a curva da função de densidade.
Fig 01
A tabela comum abaixo dá os valores de área sob a curva entre 0 e z conforme indicado na Figura 01 (a). Portanto, é a fórmula anterior modificada para:
#D.1#
Desde que a distribuição normal é simétrica, para calcular a área entre −∞ e z conforme #C.1#, basta somar 0,5 aos valores da tabela. Ver (b) da mesma figura.
Tabela 01
| z |
0,00 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
| 0,0 |
0,0000 |
0,0040 |
0,0080 |
0,0120 |
0,0160 |
0,0199 |
0,0239 |
0,0279 |
0,0319 |
0,0359 |
| 0,1 |
0,0398 |
0,0438 |
0,0478 |
0,0517 |
0,0557 |
0,0596 |
0,0636 |
0,0675 |
0,0714 |
0,0753 |
| 0,2 |
0,0793 |
0,0832 |
0,0871 |
0,0910 |
0,0948 |
0,0987 |
0,1026 |
0,1064 |
0,1103 |
0,1141 |
| 0,3 |
0,1179 |
0,1217 |
0,1255 |
0,1293 |
0,1331 |
0,1368 |
0,1406 |
0,1443 |
0,1480 |
0,1517 |
| 0,4 |
0,1554 |
0,1591 |
0,1628 |
0,1664 |
0,1700 |
0,1736 |
0,1772 |
0,1808 |
0,1844 |
0,1879 |
| 0,5 |
0,1915 |
0,1950 |
0,1985 |
0,2019 |
0,2054 |
0,2088 |
0,2123 |
0,2157 |
0,2190 |
0,2224 |
| 0,6 |
0,2257 |
0,2291 |
0,2324 |
0,2357 |
0,2389 |
0,2422 |
0,2454 |
0,2486 |
0,2517 |
0,2549 |
| 0,7 |
0,2580 |
0,2611 |
0,2642 |
0,2673 |
0,2704 |
0,2734 |
0,2764 |
0,2794 |
0,2823 |
0,2852 |
| 0,8 |
0,2881 |
0,2910 |
0,2939 |
0,2967 |
0,2995 |
0,3023 |
0,3051 |
0,3078 |
0,3106 |
0,3133 |
| 0,9 |
0,3159 |
0,3186 |
0,3212 |
0,3238 |
0,3264 |
0,3289 |
0,3315 |
0,3340 |
0,3365 |
0,3389 |
| 1,0 |
0,3413 |
0,3438 |
0,3461 |
0,3485 |
0,3508 |
0,3531 |
0,3554 |
0,3577 |
0,3599 |
0,3621 |
| 1,1 |
0,3643 |
0,3665 |
0,3686 |
0,3708 |
0,3729 |
0,3749 |
0,3770 |
0,3790 |
0,3810 |
0,3830 |
| 1,2 |
0,3849 |
0,3869 |
0,3888 |
0,3907 |
0,3925 |
0,3944 |
0,3962 |
0,3980 |
0,3997 |
0,4015 |
| 1,3 |
0,4032 |
0,4049 |
0,4066 |
0,4082 |
0,4099 |
0,4115 |
0,4131 |
0,4147 |
0,4162 |
0,4177 |
| 1,4 |
0,4192 |
0,4207 |
0,4222 |
0,4236 |
0,4251 |
0,4265 |
0,4279 |
0,4292 |
0,4306 |
0,4319 |
| 1,5 |
0,4332 |
0,4345 |
0,4357 |
0,4370 |
0,4382 |
0,4394 |
0,4406 |
0,4418 |
0,4429 |
0,4441 |
| 1,6 |
0,4452 |
0,4463 |
0,4474 |
0,4484 |
0,4495 |
0,4505 |
0,4515 |
0,4525 |
0,4535 |
0,4545 |
| 1,7 |
0,4554 |
0,4564 |
0,4573 |
0,4582 |
0,4591 |
0,4599 |
0,4608 |
0,4616 |
0,4625 |
0,4633 |
| 1,8 |
0,4641 |
0,4649 |
0,4656 |
0,4664 |
0,4671 |
0,4678 |
0,4686 |
0,4693 |
0,4699 |
0,4706 |
| 1,9 |
0,4713 |
0,4719 |
0,4726 |
0,4732 |
0,4738 |
0,4744 |
0,4750 |
0,4756 |
0,4761 |
0,4767 |
| 2,0 |
0,4772 |
0,4778 |
0,4783 |
0,4788 |
0,4793 |
0,4798 |
0,4803 |
0,4808 |
0,4812 |
0,4817 |
| 2,1 |
0,4821 |
0,4826 |
0,4830 |
0,4834 |
0,4838 |
0,4842 |
0,4846 |
0,4850 |
0,4854 |
0,4857 |
| 2,2 |
0,4861 |
0,4864 |
0,4868 |
0,4871 |
0,4875 |
0,4878 |
0,4881 |
0,4884 |
0,4887 |
0,4890 |
| 2,3 |
0,4893 |
0,4896 |
0,4898 |
0,4901 |
0,4904 |
0,4906 |
0,4909 |
0,4911 |
0,4913 |
0,4916 |
| 2,4 |
0,4918 |
0,4920 |
0,4922 |
0,4925 |
0,4927 |
0,4929 |
0,4931 |
0,4932 |
0,4934 |
0,4936 |
| 2,5 |
0,4938 |
0,4940 |
0,4941 |
0,4943 |
0,4945 |
0,4946 |
0,4948 |
0,4949 |
0,4951 |
0,4952 |
| 2,6 |
0,4953 |
0,4955 |
0,4956 |
0,4957 |
0,4959 |
0,4960 |
0,4961 |
0,4962 |
0,4963 |
0,4964 |
| 2,7 |
0,4965 |
0,4966 |
0,4967 |
0,4968 |
0,4969 |
0,4970 |
0,4971 |
0,4972 |
0,4973 |
0,4974 |
| 2,8 |
0,4974 |
0,4975 |
0,4976 |
0,4977 |
0,4977 |
0,4978 |
0,4979 |
0,4979 |
0,4980 |
0,4981 |
| 2,9 |
0,4981 |
0,4982 |
0,4982 |
0,4983 |
0,4984 |
0,4984 |
0,4985 |
0,4985 |
0,4986 |
0,4986 |
| 3,0 |
0,4987 |
0,4987 |
0,4987 |
0,4988 |
0,4988 |
0,4989 |
0,4989 |
0,4989 |
0,4990 |
0,4990 |
Alguns exemplos de uso da tabela
• Probabilidade de Z ≤ 1,53:
Na interseção da linha 1,5 com a coluna 0,03 há o valor 0,4370. Precisa-se somar 0,5 porque, conforme visto, a tabela dá valores a partir de zero. Assim, P( Z ≤ 1,53 ) ≈ 0,4370 + 0,5 = 0,9370.
• Probabilidade de Z ≤ −1,53:
A simetria da curva permite deduzir a fórmula para valores negativos de z:
P( Z ≤ v ) = 1 − P( Z ≤ |v| ) para v < 0#E.1#
Portanto, P( Z ≤ −1,53 ) ≈ 1 − 0,9370 = 0,0630.
• Probabilidade de −1 ≤ Z ≤ 0,5:
A idéia gráfica permite concluir que é igual à diferença entre os valores calculados para cada extremo.
P( Z ≤ 0,5 ) = 0,5 + 0,1915 = 0,6915. P( Z ≤ −1 ) = 1 − P( Z ≤ 1 ) = 1 − (0,5 + 0,3413) = 0,1587.
Portanto o resultado é dado por P( −1 ≤ Z ≤ 0,5 ) = 0,6915 − 0,1587 = 0,5328.
Uma distribuição normal genérica, X ~ N(μ, σ2), pode ser reduzida a uma distribuição padrão (e a tabela pode ser usada) pela relação:
#F.1#
• Seja uma distribuição normal com média 20 e desvio-padrão 2. Aplicam-se a relação acima e a tabela anterior para determinar a probabilidade P( X ≤ 22 ):
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