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Distribuição gama
| Topo pág | Fim pág |Inicialmente são dadas algumas considerações sobre a função gama Γ, que é definida por:
Γ(α) = ∫0...∞ xα − 1 e−x dx #A.1#.Considerando agora a igualdade
Γ(α) = ∫0...∞ xα − 1 e−x dx = ∫0...∞ xα − 1 d(−e−x) e fazendo a integração por partes, Γ(α) = xα − 1 (−e−x)|0, ∞ − ∫0...∞ (−e−x) (α − 1) xα − 2 dx == (α − 1) ∫0...∞ xα − 1 − 1 e−x dx = (α − 1) Γ(α − 1).Para
α = 1 tem-se Γ(1) = ∫0...∞ e−x dx = 1.
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| Figura 01 |
Γ(2) = 1 1 = 1 Γ(3) = 2 1 = 2 Γ(4) = 3 2 1 = 6 etc
Por indução, pode-se concluir que, para qualquer n inteiro e positivo,
Γ(n) = (n − 1) ! #A.2#, sendo esta uma importante propriedade da função gama.Voltando à igualdade #A.1#, com a substituição da variável x por y:
Γ(α) = ∫0...∞ yα − 1 e−y dy. Fazendo y = βx,Γ(α) = ∫0...∞ βα xα − 1 e−βx dx. Dividindo tudo por Γ(α),1 = ∫0...∞ [1 / Γ(α)] βα xα − 1 e−βx dx.A expressão a integrar pode ser definida por uma nova função:
| f(x) = | βα xα − 1 e−βx | para x ≥ 0 e | f(x) = 0 | para x < 0 #B.1#. |
| Γ(α) |
Essa função tem características de uma função de densidade de probabilidade e a variável aleatória associada a ela é dita ter distribuição gama de parâmetros α e β.
α é também demoninado parâmetro de forma e β, parâmetro de taxa.
Em algumas referências, é usado um parâmetro de escala θ equivalente ao inverso deste último, isto é,
β = 1 / θ #B.2#. E a função de densidade anterior é escrita:| f(x) = | xα − 1 e−x/θ | para x ≥ 0 e | f(x) = 0 | para x < 0 #B.3#. |
| Γ(α) θα |
A função de distribuição acumulada é dada por:
| F(x) = P(X ≤ x) = ∫−∞...x f(t) dt = | γ(α, βx) | #C.1#. | |
| Γ(α) |
Obs: γ é a função gama incompleta inferior
γ(a, x) = ∫0...x ta − 1 e−t dt #D.1#.A Figura 01 acima dá exemplo gráfico aproximado das funções de distribuição e de densidade para α = 2,0 e β = 0,5.
Média da distribuição gama E(X) = α / β #E.1#.
Variância da distribuição gama Var(X) = α / β2 #F.1#.
Considerando a relação já vista Γ(1) = 1, conclui-se que a distribuição exponencial é um caso particular da distribuição gama com α = 1. Neste caso, β equivale ao parâmetro λ, símbolo usual para a distribuição exponencial.
Omitindo a demonstração, segue um teorema importante da distribuição gama:
Sejam as variáveis aleatórias
X1, X2 ... Xn, todas com distribuição gama de parâmetros α1, α2 ... αn e β comum. Então a soma X1 + X2 + ... + Xn tem distribuição gama com parâmetros α = α1 + α2 + ... + αn e β.Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Abr/2008
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Referências: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/. |
WOLFRAM MATHWORLD. http://mathworld.wolfram.com/. |