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Distribuição exponencial
| Topo pág | Fim pág |Uma variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial se a função de densidade de probabilidade é dada por:
| f(x) = λ e− λ x | para x ≥ 0 |
| f(x) = 0 | para x < 0 #A.1# |
Onde:
λ: parâmetro da distribuição.
e: base dos logaritmos naturais (≈ 2,71828).
Em algumas referências, o parâmetro λ é substituído pelo seu inverso, que aqui se denomina μ. Assim,
| λ = | 1 | #B.1# | |
| μ |
E a função anterior fica:
| f(x) = (1/μ) e− x / μ | para x ≥ 0 |
| f(x) = 0 | para x < 0 #B.2# |
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| Figura 01 |
A função de distribuição acumulada, considerando a notação com o parâmetro λ, é dada por:
F(x) = P(X ≤ x) = 1 − e− λ x para x ≥ 0 #C.1#.A Figura 01 ao lado exibe gráficos aproximados da função de distribuição e da função de densidade para λ = 1,5.
Média da distribuição exponencial:
| E(X) = | 1 | = μ | #D.1# |
| λ |
Variância da distribuição exponencial:
| Var(X) = | 1 | #E.1# | |
| λ2 |
A distribuição exponencial pode ser entendida como o caso contínuo da distribuição geométrica já vista em página anterior. Nesta última, ocorre a probabilidade da ocorrência de uma mudança de "falha" para "sucesso". Na distribuição exponencial, pode-se considerar a probabilidade da mudança do estado "1" de um evento para um estado "2" com uma taxa por unidade de tempo λ.
Exemplo: uma ferramenta produzida por uma indústria apresenta uma vida média de 80 horas. Considerando o comportamento segundo a distribuição exponencial, qual a probabilidade de essa ferramenta durar mais de 100 horas?
Conforme já mencionado, vida média é o parâmetro μ, que é o inverso de λ. Portanto, λ = 1/80. Usa-se então a função de distribuição acumulada (#C.1#) para determinar a probabilidade até 100 horas e subtrai-se de 1 para a probabilidade acima de 100 horas.
P(X > 100) = 1 − P(X ≤ 100) = 1 − F(100) = 1 − 1 + e− (1/80) 100 ≈ 0,2865.Distribuição uniforme
| Topo pág | Fim pág |A distribuição uniforme de uma variável aleatória contínua X é caracterizada pela seguinte função de densidade de probabilidade:
| f(x) = | 1 | para a ≤ x ≤ b | |
| b − a | |||
| f(x) = | 0 | para x < a ou x > b #A.1# |
Onde a e b são os parâmetros da distribuição, indicando os valores mínimo e máximo respectivamente.
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| Figura 01 |
| F(x) = | 0 | para x < a |
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| F(x) = | x − a | para a ≤ x < b |
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| b − a | |||
| F(x) = | 1 | para x ≥ b #B.1# |
A Figura 01 dá exemplos gráficos das funções mencionadas.
Média:
| E(X) = | a + b | #C.1# | |
| 2 |
Variância:
| Var(X) = | (b − a)2 | #D.1# | |
| 12 |
Excesso de curtose da distribuição uniforme:
γ2 = − 6/5 #E.1#.Exemplo: várias linguagens de programação de computadores têm funções que geram números pseudo-aleatórios cuja distribuição é basicamente uniforme. Se uma função desse tipo gera números entre 0 e 2, qual a probabilidade de um número gerado estar entre 1 e 1,5?
Os parâmetros são a = 0 e b = 2. A função de densidade nesse intervalo é
f(x) = 1 / (2 − 0) = 1/2. Portanto,P(1 ≤ x ≤ 1,5) = ∫1...1,5 f(x) dx = ∫1...1,5 (1/2) dx = 0,25.Exemplo de prova 01 (fonte: Inmetro 2007, com adaptações):
Considere que X1, X2 ... X100 seja uma amostra aleatória simples de 100 erros de arredondamento. Cada erro de arredondamento é uma variável aleatória contínua uniformemente distribuída no intervalo [−0,5 +0,5]. A soma dos elementos dessa amostra é Y = X1 + X2 + ... + X100, e X é a média amostral. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.
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| Figura 02 |
51) A soma Y é uma variável aleatória distribuída segundo uma distribuição normal no intervalo [−∞, +∞ ].
Na página sobre Distribuição Normal deduz-se que essa soma tende a uma distribuição normal, se as amostras são independentes. Entretanto, não pode ter intervalo infinito porque o original é finito. Resposta: Errado.
52) A variância de Y é superior a 8.
A variância de cada Xi é dada pela fórmula #D.1#:
σ2 = (0,5 − −0,5)2/12 = 1/12. Segundo informação da mesma página, a variância da soma é n σ2 = 100/12 > 8. Resposta: Certo.53) Y2 é uma variável aleatória contínua cuja média é um valor entre 7,5 e 10.
Segundo o tópico Variância de uma variável aleatória,
Var(Y) = E(Y2) − [E(Y)]2.Var(Y) = 100/12 conforme item anterior. Segundo página Distribuição Normal, E(Y) = n μ. Conforme #C.1#,μ = E(Xi) = (−0,5 + 0,5)/2 = 0.Portanto,
E(Y2) = Var(Y) = 100/12. O resultado está na faixa indicada. Resposta: Certo.54) A probabilidade da soma Y ser um valor positivo é igual a 0,5.
Considerando que a média de Y é zero e que a distribuição normal é simétrica em relação à média, conclui-se que a resposta é Certo.
55) A probabilidade de se observar
|X| > 0,65 não é nula.A média não pode estar fora da faixa da distribuição (−0,5 a +0,5). Portanto, essa probabilidade é nula. Resposta: Errado.
56) A probabilidade de ocorrer um evento em que 50% da amostra é formada por valores positivos e a metade restante é formada por valores negativos é igual a 0,5.
0,5 é a probabilidade de valores negativos ou de positivos, porque a média é nula. Mas não é a probabilidade de formar amostra com metade negativo e metade positivo. Resposta: Errado.
Ver analogia no Exemplo 02 do tópico Distribuição binomial.
| 57) A estatística | ∑ | Xi2 | é um estimador não tendencioso para a variância da média amostral. | |
| 99 |
Conforme pode ser visto no tópico Exemplo 02: variância da distribuição normal, o estimador refere-se à variância da amostra e à variância da média. Resposta: Errado.
58) A curtose da soma Y é positiva.
Segundo tópico Curtose, se não considerado o conceito de excesso de curtose, ela é sempre positiva. Resposta: Certo.
Exemplo de prova 02 (fonte: Inmetro 2007, com adaptações):
Uma calculadora é ajustada para retornar apenas números inteiros. R é um resultado de uma operação matemática e N, o respectivo número arredondado pela calculadora. A diferença D = N − R é o erro de arredondamento. Essa diferença segue uma distribuição uniforme no intervalo −0,5 ≤ D ≤ 0,5. Com base nessas informações e considerando que uma seqüência independente de 10 erros de arredondamento seja denotada por D1, D2 ... D10, julgue os itens subseqüentes.
Este exemplo é bastante similar ao anterior (com 10 amostras no lugar de 100) e algumas questões também são.
117) A probabilidade de ocorrência do evento −0,25 ≤ D ≤ 0,25 é igual a 0,5.
Essa afirmação é decorrente da própria definição da função de densidade de probabilidade. A área entre dois valores é a probabilidade de a variável estar entre eles. Resposta: Certo.
118) Da amostra aleatória de 10 erros de arredondamento, a probabilidade de se observar exatamente 5 erros positivos e 5 erros negativos é igual a 0,5.
Similar à questão 56 do exemplo anterior. Resposta: Errado.
| 119) A média | D1 + D2 + ... + D10 | segue uma distribuição cuja variância é inferior a 0,01. | ||
| 10 |
A variância de cada Xi é dada pela fórmula #D.1#:
σ2 = (0,5 − −0,5)2/12 = 1/12. Da página sobre Distribuição Normal, a variância da soma é 10 σ2. De acordo com as propriedades da variância, a variância da média é dada por:10 σ2 / 102 = 1/120 < 0,01. Resposta: Certo.Ver tópico Variância de uma variável aleatória.
120) Considerando-se uma seqüência de 10 erros de arredondamento, denotada por D1, D2 ... D10, e sabendo-se que a correlação entre dois erros distintos é igual a 0,01, então a variância da soma D1 + D2 + ... + D10 é superior a 0,9.
Desde que a correlação não é nula, as variáveis não são independentes, e o resultado anterior não é mais válido. Do tópico Co-variância, observa-se a relação:
| ρ(X, Y) = | Cov(X, Y) |
| √[ Var(X) Var(Y) ] |
Portanto,
Cov(Xi, Xj) = 0,01 √[(1/12) (1/12)] = 0,001/12 para i ≠ j.Do mesmo tópico, obtém-se a fórmula para a variância da soma:
Var ∑ Xi = ∑ Var(Xi) + 2 ∑i<j Cov(Xi, Xj). Substituindo,Var(D1 + D2 + ... + D10) = 10 (1/12) + 2 ∑i<j 0,01/12 ≈ 0,908. Resposta: Certo.Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Jun/2008
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Referências: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/. |
WOLFRAM MATHWORLD. http://mathworld.wolfram.com/. |