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Distribuição binomial negativa
| Topo pág | Fim pág |Seja a seguinte situação: uma seqüência de eventos independentes onde, em cada evento, a probabilidade de sucesso é p e a probabilidade de falha é, naturalmente,
q = 1 − p.Uma variável aleatória X é dita ter distribuição binomial negativa se, nessa seqüência, ela indica o número de falhas antes da ocorrência de determinado número de sucessos, que se designa por "r".
A função de probabilidade é dada por:
p(x) = P(X = x) = C(r + x − 1, r − 1) pr qx #A.1#. Onde:x: número de falhas antes de r sucessos (
x = 0, 1, 2 ...).r: número de sucessos.
p: probabilidade de sucesso.
q: probabilidade de falha (
= 1 − p).Considerando a definição do coeficiente binomial (C) e a propriedade da função gama
Γ(n) = (n − 1)!, a igualdade anterior pode ser escrita:| p(x) = P(X = x) = | Γ(r + x) pr qx | #A.2#. | |
| x! Γ(r) |
Média da distribuição binomial negativa: E(X) = rq / p #B.1#. Variância da distribuição binomial negativa: Var(X) = rq / p2 #B.2#.
Exemplo: uma moeda viciada exibe, em média, cinco "coroas" a cada seis jogadas. Determinar a probabilidade da ocorrência de 10 "coroas" antes da terceira "cara".
Considerando sucesso como "cara", tem-se
p = 1 − 5/6 = 1/6. Portanto, q = 1 − p = 5/6. Também r = 3 porque o sucesso é "cara". E x = 10 porque é o número de "coroas" ou falhas.Assim,
p(10) = C(3 + 10 − 1, 2) (1/6)3 (5/6)10 ≈ 0,049.Distribuição geométrica
| Topo pág | Fim pág |Equivale à distribuição binomial negativa vista no tópico anterior com
k = 1. Significa, portanto, a probabilidade de x falhas antes da ocorrência do primeiro sucesso.A função de probabilidade é dada por:
p(x) = P(X = x) = p qx #A.1#. Onde:x: número de falhas antes do primeiro sucesso (
x = 0, 1, 2 ...).p: probabilidade de sucesso.
q: probabilidade de falha (
= 1 − p).Média da distribuição geométrica: E(X) = q / p #B.1#.
Variância da distribuição geométrica: Var(X) = q / p2 #B.2#.
Exemplo 01: uma moeda viciada apresenta "cara" em 75% das vezes em que é jogada. Então, a probabilidade de x jogadas antes da primeira cara é
p(x) = 0,75 0,25x.Exemplo 02: um rapaz está numa festa e sabe que a probabilidade de uma menina aceitar um convite para dançar é 0,2. Quantas recusas ele espera receber antes de conseguir uma parceira de dança?
A probabilidade de sucesso é
p = 0,2 e a probabilidade de falha, q = 1 − 0,2 = 0,8. A média é dada por:E(X) = q / p = 0,8 / 0,2 = 4. Portanto, ele pode esperar 4 negativas antes de achar uma parceira.Distribuição de Poisson
| Topo pág | Fim pág |Esta distribuição discreta foi descoberta pelo matemático francês Siméon-Denis Poisson que a publicou em 1838. Indica a probabilidade da ocorrência do número de eventos em determinado período de tempo ou região de um espaço, considerando que a ocorrência média é conhecida e que cada evento é independente do anterior.
A função de probabilidade é dada por:
| p(x) = P(X = x) = | e−λ λx | #A.1# | |
| x! |
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| Figura 01 |
x: número de ocorrências para o qual a probabilidade é calculada. Deve ser um inteiro não negativo (
x = 0, 1, 2 ...).e: base dos logaritmos naturais (
≈ 2,71828).λ: número esperado de ocorrências no intervalo ou região considerado. Deve ser um número real positivo.
A Figura 01 ao lado dá exemplo gráfico da função de distribuição (p(xi) acumulada) e da função de probabilidade p(xi) para λ = 5 e, naturalmente, x1 = 0, x2 = 1, etc.
A média e a variância da distribuição de Poisson são iguais ao parâmetro λ:
E(X) = λ #B.1# Var(X) = λ #B.2#
Em página anterior, foi vista a função de probabilidade da distribuição binomial:
p(x) = P(X = x) = C(n, x) px q(n − x) #C.1#.É possível demonstrar que, para n grande e p pequeno, a distribuição binomial se aproxima da distribuição de Poisson. Valores práticos são n ≥ 20 e p ≤ 0,05. Neste caso, o parâmetro λ é dado por:
λ ≈ np #C.2#.Exemplo: a central de operações do corpo de bombeiros de uma grande cidade recebe em média 2,1 alarmes falsos por dia. Considerando o comportamento estatístico segundo a distribuição de Poisson, determinar a probabilidade da ocorrência de 4 alarmes falsos em um único dia.
São dados o parâmetro λ = 2,1 e a variável x = 4. Portanto, a probabilidade é
p(4) = e−2,1 2,14 / 4! ≈ 0,0992.Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Abr/2008
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Referências: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/. |
WOLFRAM MATHWORLD. http://mathworld.wolfram.com/. |