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Distribuição binomial
| Topo pág | Fim pág |Em página anterior já foi visto que a probabilidade de k sucessos em uma seqüência de n eventos independentes, com probabilidade individual p de sucesso e q de falha, é dada pela fórmula de Bernoulli:
C(n, k) pk q(n − k) #1.1#.Substituindo k por x para coerência com os símbolos aqui usados, esta fórmula é a função de probabilidade de uma variável aleatória discreta para a chamada distribuição binomial:
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| Figura 01 |
p(x) = P(X = x) = C(n, x) px q(n − x) #A.1#.Onde:
n: número total de eventos.
x: número de sucessos.
p: probabilidade de sucesso.
q: probabilidade de falha.
Naturalmente, deve sempre ocorrer
p + q = 1 #A.2#.O coeficiente binomial C(n, x) é calculado por:
C(n, x) = n! / [ (n − x)! x! ] #A.3#.A função de distribuição correspondente é dada por:
FX(x) = ∑0 ≤ t ≤ x C(n, t) pt q(n − t) #B.1#.Os valores n e p são denominados parâmetros da distribuição binomial.
Em (a) da Figura 01, gráfico da função de distribuição e, em (b), a função de probabilidade, ambas para n = 10 e p = 0,3.
A média e a variância podem ser determinadas a partir das fórmulas já vistas em página anterior. Omitindo o desenvolvimento matemático e a simplificação das expressões, os resultados são:
E(X) = n p #C.1#.Var(X) = n p q #C.2#.Exemplo 01: uma prova tem 20 questões de múltipla escolha com 4 opções cada e uma resposta certa por questão. Analisar algumas probabilidades de resposta ao acaso de todas as questões.
Para este exemplo,
n = 20, p = 1/4 = 0,25 e q = 1 − p = 0,75.A esperança ou média é
E(X) = np = 20 0,25 = 5.Ou seja, se respondidas todas ao acaso, o estudante pode esperar um acerto de 5 questões. Mas, é claro, nem todos que responderem ao acaso terão 5 acertos. Se vários estudantes respondem ao acaso, o desvio médio quadrático em relação a essa média é dado pelo desvio padrão
σ2 = Var(X) = n p q = 20 0,25 0,75 = 3,75. Portanto, σ ≈ 1,94.Supõe-se agora que o critério de aprovação seja um mínimo de 12 respostas certas. Pode-se usar a fórmula da função de distribuição (#B.1#) para calcular a probabilidade de até 11 respostas certas:
FX(11) = P( X ≤ 11) = ∑0 ≤ t ≤ 11 C(20, t) 0,25t 0,75(20 − t) ≈ 0,999.Portanto, a probabilidade de aprovação com respostas ao acaso é aproximadamente
1 − 0,999 = 0,001.Exemplo 02: uma moeda ideal é jogada 20 vezes. Calcular a probabilidade de obter exatamente 10 caras.
Para este exemplo, os parâmetros dados são:
n = 20, p = 0,5 e q = 1 − p = 0,5. Desde que se deseja apenas um valor, a função de probabilidade é usada diretamente:P(10)= C(20, 10) 0,510 0,5(20−10) ≈ 0,1762.Distribuição hipergeométrica
| Topo pág | Fim pág |É uma outra distribuição discreta, aplicável a casos de número de sucessos em uma amostra retirada, sem reposição, de uma população finita. Essa definição pode parecer um tanto vaga, mas pode ser esclarecida com auxílio de um exemplo.
Supõe-se que um lote de N peças contenha D peças com defeito (portanto, D ≤ N) e, desse lote, retira-se uma amostra de n peças ao acaso.
| Na amostra | Fora da amostra | Somas | |
| Defeituosos | x | D − x | D |
| Não defeituosos | n − x | N − D − (n − x) | N − D |
| Totais | n | N − n | N |
Deseja-se saber a probabilidade de encontrar x peças com defeito na amostra de n peças (a tabela ao lado dá um resumo. Notar que o "sucesso" mencionado significa "peça com defeito").
À medida que são retiradas peças para formar a amostra, o tamanho da população diminui e, portanto, a probabilidade de sucesso varia. Assim, o problema não pode ser resolvido com a distribuição binomial porque os eventos não são independentes.
É possível demonstrar que, para casos do exemplo e similares, ocorre a distribuição hipergeométrica, cuja função de probabilidade é dada por:
| p(x) = P(X = x) = | C(D, x) C(N − D, n − x) | #A.1# Onde: |
| C(N, n) |
N: número total de elementos.
D: número de elementos qualificados de sucesso.
n: tamanho da amostra.
x: número de sucessos na amostra.
| Média da distribuição hipergeométrica: | E(X) = | n D | #A.2#. |
| N |
| Variância da distribuição hipergeométrica: | Var(X) = | n (D/N) (1 − D/N) (N − n) | #A.3#. |
| N − 1 |
Apesar da distinção, a distribuição hipergeométrica se aproxima da binomial se o tamanho da população é grande em relação à amostra (N >> n). Neste caso, os parâmetros da binomial são n (amostra) e
p = D/N.Exemplo: um jogo de loteria é feito a partir de um conjunto de 55 bolas numeradas de 1 a 55 O resultado é dado pelos números de 5 bolas retiradas aleatoriamente e sem reposição desse conjunto. Naturalmente, os bilhetes vendidos são numerados com cinco números sem repetição entre 1 e 55. Calcular a probabilidade de um bilhete acertar três números.
Há então os seguintes parâmetros:
N = 55 (tamanho total).
D = 5 (quantidade de sucessos no total, isto é, as bolas sorteadas).
n = 5 (tamanho da amostra, ou seja, quantidade de números no bilhete).
E a variável x deve ser 3 porque é o número de acertos ou sucessos na amostra que é o bilhete. Portanto,
p(x) = C(5, 3) C(55 − 5, 5 − 3) / C(55, 5) ≈ 0,0035.Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Mar/2008
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Referências: GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability. |
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/. APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969. |