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Vetor aleatório

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Uma variável aleatória n-dimensional ou vetor aleatório é um vetor de n dimensões formado por variáveis aleatórias. Exemplo conforme quadro #A.1#.

X =  X1 . . . Xn  =  X1 ... Xn  T

#A.1#

Observações:
• O símbolo ^T significa matriz transposta, troca de linhas com colunas.
• Caractere em negrito indica vetor ou matriz.

A função de distribuição de um vetor aleatório é definida pela distribuição conjunta das suas coordenadas X₁, …, X_n:

Fx(X) = FX1, ... , Xn(x1, ... , xn) #B.1#.

Se a esperança E(X_i) existe para cada i, a matriz de média é dada conforme quadro #C.1#. Pode-se facilmente concluir que

E(X) = μ =  E(X1) . . . E(Xn)

#C.1#

[ E(X) ]T = E(XT) #C.2#.

Se E(X_i X_j) existe para todo 1 < i, j < n, a matriz de variância é definida por:

Var(X) = E[ (X − μ) (X − μ)T ] #C.3#.

Var(X) é, portanto, uma matriz simétrica n × n.

As propriedades a seguir consideram:

A uma matriz constante m × n.
X um vetor aleatório n-dimensional.
α um vetor constante m-dimensional.

1) E( AX + α ) = A E(X) + α #D.1#.

2) Var( AX + α ) = A Var(X) AT #D.2#.

Se X_i são variáveis independentes com mesma distribuição e mesma variância σ², vale:

3) Var( AX + α ) = σ2 A AT #D.3#.

Exemplo (fonte: prova Inmetro 2007, questões 59 a 63):

Considere as realizações de dois vetores aleatórios, em que X = (x1, x2, x3), Y = (y1, y2, y3) e Σxi = Σyi = 0. Com base nessas informações, julgue os itens subseqüentes.


59) O produto interno entre X · Y é um vetor de dimensão 3 × 1.

Segundo conceitos de álgebra linear, o produto interno de dois vetores X e Y é dado por

X · Y = Σ xi yi = |X| |Y| cos θ #E.1#. Onde θ é o ângulo entre eles.

É um escalar e não um vetor. Resposta E (errado), portanto.


60) O resultado do produto vetorial X × Y é uma matriz simétrica de dimensão 3 × 3.

X × Y =  0 −x3 x2 x3 0 −x1 −x2 x1 0  ×  y1 y2 y3

#F.1#

Em termos matriciais, o produto vetorial de X e Y pode ser dado conforme quadro #F.1#. É, portanto, um vetor 3 × 1. Resposta E (errado).

61) Se as realizações X e Y formam entre si um ângulo de 60º, então a correlação linear entre X e Y é igual a 0,5.

Para duas variáveis aleatórias unidimensionais X e Y, a covariância é dada por:

Cov(X, Y) = E[ (X − μX) (Y − μY) ] #G.1#.

O coeficiente de correlação ρ é definido por:

ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / √[ Var(X) Var(Y) ] #G.2#, valendo −1 ≤ ρ(X, Y) ≤ +1.

A covariância tem propriedades similares às do produto interno (ou produto escalar) de vetores. Assim, pode-se deduzir por indução que o coeficiente de correlação segundo fórmula acima deve corresponder ao co-seno de um ângulo. Desde que cos 60° = 0,5, o enunciado é presumivelmente correto.

Resposta C (certo).


62) Se X + Y = 0 = (0, 0, 0), então |X × Y| = 0.

O módulo do produto vetorial de dois vetores X e Y é dado por:

|X × Y| = |X| |Y| sen θ #H.1#.

Onde θ é o ângulo entre eles. Na questão, se X + Y = 0, X = −Y. Portanto, θ = 180° e sen θ = 0. Assim, |X × Y| = 0. Resposta C (certo).


63) A projeção escalar de X sobre Y é igual a ( Σ x_i y_i ) / ( √ Σy_i² ).

O termo do denominador é o módulo do vetor Y: |Y| = √ Σyi2. E o numerador é o produto escalar (ver #E.1#):

X · Y = Σ xi yi = |X| |Y| cos θ. A projeção de X sobre Y é

|X| cos θ = (X · Y) / |Y| = ( Σ xi yi ) / ( √ Σyi2 ). Resposta C (certo).


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