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Esperança condicional
| Topo pág | Fim pág |Por simplicidade, considera-se apenas o caso discreto. Sejam os parâmetros:
X: uma variável aleatória
S = {x1, x2, ...}: espaço amostral de X
F: um evento qualquer
A esperança condicional de X dado F é definida por:
E( X | F ) = Σi xi P( X = xi | F ) #A.1#.É, portanto, a esperança calculada com as probabilidades condicionais para o evento F.
Do conceito de probabilidade condicional, pode-se facilmente concluir que
E( X|Y ) = E(X) se X e Y são independentes.O teorema da esperança total (aqui não demonstrado) estabelece que:
E[ E( X|Y ) ] = E( X ) para 
X e Y #B.1#.Exemplo: um dado ideal é jogado e, em seguida, é jogado um número de moedas ideais igual ao valor da face do dado voltada para cima. Determinar a esperança de caras nesse experimento.
Solução: seja D a variável aleatória que representa o valor do dado. Então, o espaço amostral é
d = {1, 2, 3, 4, 5, 6} com p(di) = 1/6. Assim,E(D) = (1/6) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5.Se C é a variável que indica o número de caras e, considerando que foram jogadas D moedas, a esperança condicional é a metade desse valor porque as moedas são ideais:
E( C | D) = D/2. Usando #B.1#,E(C) = E[ E( C | D) ] = E( D/2 ) = E(D) / 2 = 3,5 / 2.Co-variância
| Topo pág | Fim pág |Sejam as variáveis aleatórias X e Y e as respectivas esperanças:
E(X) = μX E(Y) = μY
A co-variância entre ambas é definida por:
Cov(X, Y) = E[ (X − μX) (Y − μY) ] #A.1#.Algumas relações para a co-variância (sem demonstração):
•
Cov(X, X) = Var(X) #B.1#.•
Cov(X, Y) = Cov(Y, X) #B.2#.•
Cov(X + a, Y + b) = Cov(X, Y) #B.3#.•
Cov(a X, b Y) = ab Cov(X, Y) #B.4#.•
Cov(X, Y) = E( X Y ) − E(X) E(Y) #B.5#.•
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, Y) #B.6#.•
Var ∑ Xi = ∑ Var(Xi) + 2 ∑i<j Cov(Xi, Xj) #B.7#.Obs: da propriedade #B.1#,
Cov(X, X) = Var(X) = σX2, que pode ser visto como σXX. Isso induz uma outra notação para a co-variância:σXY = Cov(X, Y) #C.1#.Se não há correlação estatística entre as variáveis X e Y, ocorre Cov(X, Y) = 0. Assim, a co-variância não é nula para variáveis estatisticamente correlacionadas. Se Cov(X, Y) > 0, Y tende a aumentar com o aumento de X. Se Cov(X, Y) < 0, Y tende a diminuir com o aumento de X.
Variáveis estatisticamente independentes são sempre não-correlacionadas, mas a recíproca nem sempre é verdadeira, ou seja, se a co-variância é nula, as variáveis não são necessariamente independentes.
O coeficiente de correlação entre duas variáveis aleatórias X e Y é dado por:
| ρ(X, Y) = | Cov(X, Y) | #D.1# | |
| √[ Var(X) Var(Y) ] |
É possível demonstrar que
−1 ≤ ρ(X, Y) ≤ +1 #D.2#.Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Jan/2008
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