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Probabilidades e estatística II-10
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Esperança de uma variável aleatória |
Variância de uma variável aleatória |
Momentos |
Esperança de uma variável aleatória
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Também denominada valor esperado ou média de uma variável aleatória X, é um parâmetro simbolizado por E(X) ou μ e definido por:
• Se X é uma variável aleatória discreta:
#A.1#
Onde p(xi) é a função de probabilidade da variável X conforme visto em página anterior.
• Se X é uma variável aleatória contínua:
#B.1#
Onde f(x) é a função de densidade de probabilidade de X conforme visto em página anterior.
Algumas propriedades da média:
E(a X) = a E(X)#C.1#
Onde "a" é uma constante.
E(X ± a) = E(X) ± a#C.2#
Onde "a" é uma constante.
E(Σ Xi) = Σ E(Xi)#C.3#
Se cada E(Xi) existe.
E(∏ Xi) = ∏ E(Xi)#C.4#
Se cada E(Xi) existe e as variáveis são independentes.
Exemplo: seja o caso discreto da soma dos valores de dois dados conforme ilustrado em página anterior. A tabela abaixo dá os valores das probabilidades.
| i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
| xi |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
| p(xi) |
0,028 |
0,056 |
0,083 |
0,111 |
0,139 |
0,167 |
0,139 |
0,111 |
0,083 |
0,056 |
0,028 |
Calculando com os dados da tabela acima, E(X) = Σ xi p(xi) = 7,00
Variância de uma variável aleatória
(Topo pág | Fim pág)
A variância de uma variável aleatória X, simbolizada por Var(X), é definida por:
#A.1#
Onde μ = E(X), isto é, esperança ou média da variável X.
Obs: além do símbolo Var(X), são também usados σ2X ou simplesmente σ2.
Usando a fórmula da esperança vista no tópico anterior:
• se X é uma variável aleatória discreta:
#B.1#
Onde p(xi) é a função de probabilidade da variável discreta X.
• se X é uma variável aleatória contínua:
#B.2#
Onde f(x) é a função de densidade de probabilidade da variável contínua X.
Exemplo: no exemplo do tópico anterior, E(X) = μ = 7. Portanto, a variância pode ser calculada por:
Var(X) = Σ (xi − 7)2 p(xi) ≈ 5,83
Algumas propriedades da variância:
• 
#C.1#
Onde a e b são constantes.
• 
#C.2#
• 
#C.3#
Se X1, X2, ... são independentes.
• 
#C.4#
Se e somente se P( X = k ) = 1, onde k é uma constante.
Algumas considerações sobre esperança (média) e variância:
Em mecânica, um corpo real pode muitas vezes ser considerado um ponto imaginário de mesma massa localizado no seu centro de massa. A média tem caráter análogo na estatística, uma vez que, em muitos casos, pode-se usar o seu valor em vez de todos os valores observados. Mas o centro de massa de um corpo não dá nenhuma noção da distribuição da massa no espaço. Também na estatística, a média não proporciona nenhuma informação sobre a distribuição ou dispersão dos valores.
O momento de segunda ordem ou momento de inércia de um corpo dá idéia da distribuição da sua massa. Um corpo fictício, com toda a massa concentrada em um ponto de dimensões infinitesimais, teria momento de inércia nulo. Para um corpo real e considerando a mesma massa, o momento de inércia aumenta com um maior afastamento das partículas de massa em relação ao centro de massa.
A variância é o momento de segunda ordem da estatística, ou seja, o seu valor aumenta com o aumento da dispersão dos valores observados. E, de forma similar, uma distribuição ideal, com todos os valores iguais, teria variância nula.
Embora a média possa ser negativa, a variância é sempre positiva. É usual o símbolo σ² (sigma ao quadrado) para a variância. A sua raiz quadrada positiva (σ) é denominada desvio-padrão. Matematicamente, o desvio-padrão pode ser considerado o valor médio quadrático ponderado dos desvios de cada elemento em relação à média. A analogia mecânica é o raio de giração, isto é, a distância, em relação a um eixo central, de uma massa pontual que produziria, em relação a esse eixo, um momento de inércia idêntico ao do corpo de mesma massa.
Momentos
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Seja X uma variável aleatória genérica. A expressão genérica de esperança é denominada n-ésimo momento ou momento de ordem n de X:
#A.1#
O n-ésimo momento central ou n-ésimo momento em torno da média de X é a forma anterior calculada em relação à média μ = E(X):
#A.2#
Da definição de variância, conclui-se que ela é o segundo momento central da variável aleatória.
Função geratriz de momentos de uma variável aleatória X é definida por:
#B.1#
Onde t é um número real.
A função geratriz pode proporcionar qualquer momento da variável aleatória. Exemplo: é possível demonstrar que a n-ésima derivada é dada por:
#C.1#
A igualdade a seguir também pode ser usada.
#D.1#
Onde F é a função de distribuição acumulada.
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