MSPC - Informações Técnicas
. . . | Início | Mapa | Uso etc | Pesquisar | Fim pág | Voltar |
Probabilidades e estatística II-00
Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |
Variável aleatória |
Função de distribuição |
Função de densidade |
Variável aleatória
(Topo pág | Fim pág)
Seja S o conjunto que contém todos os eventos de um determinado experimento que se deseja estudar. Uma variável aleatória é uma função que atribui um número real a cada evento em S, segundo o critério que se deseja observar.
Exemplo 01: um dado é jogado e o critério a observar é o número da face voltada para cima. Então o conjunto S é dado por
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Uma variável aleatória X(w) para esse critério pode ter uma correspondência direta, isto é,
X(w) = w, onde w é um elemento de S.
Exemplo 02: se, no exemplo anterior, o critério é número par ou ímpar da face voltada para cima, o conjunto S é o mesmo e uma variável aleatória Y(w) pode ser definida como
Y(w) = 0 se w é par
Y(w) = 1 se w é ímpar
Pode-se usar a notação de transformação para a variável aleatória:
X:S → R
De forma abreviada, pode ser usada a notação:
X = x
Indicando o conjunto de todos os elementos w de S tais que X(w) = x. E a respectiva probabilidade pode ser escrita:
P(X = x)
Variáveis aleatórias podem ser unidimensionais ou ter mais de uma dimensão. Podem também ser discretas quando o número de valores que podem assumir é finito (ou infinito de forma enumerável) ou contínuas nos demais casos.
Função de distribuição
(Topo pág | Fim pág)
Seja X uma variável aleatória unidimensional. A correspondente função de distribuição acumulada (ou simplesmente função de distribuição), simbolizada por FX (ou simplesmente F) é dada por:
F(x) = P( X ≤ x )#A.1#
Dependendo da faixa de variação dos valores da variável aleatória, a função de distribuição pode ser:
• limitada ( exemplo: 0 < x < +∞ )
• ilimitada ( −∞ < x < +∞ )
De acordo com o tipo de valores da variável aleatória, pode ser discreta ou contínua.
Algumas propriedades da função de distribuição (considerando a < b):
0 ≤ F(x) ≤ 1#B.1#
F(a) ≤ F(b)#B.2#
lim F(x) = 0 se x → −∞#B.3#
lim F(x) = 1 se x → +∞#B.4#
P( a < X ≤ b ) = F(b) − F(a)#B.5#
P( a ≤ X < b ) = F(b) − F(a) + P( X = a ) − P( X = b )#B.6#
P( a ≤ X ≤ b ) = F(b) − F(a) + P( X = a )#B.7#
P( a < X < b ) = F(b) − F(a) − P( X = b )#B.8#
Exemplo (fonte: prova IRB 2004): Uma amostra de tamanho 200 com valores possíveis 0, 1, 2, 3 e 4 produziu a função de distribuição empírica seguinte:
F (x) = 0 se x < 0
0,325 se 0 ≤ x < 1
0,650 se 1 ≤ x < 2
0,850 se 2 ≤ x < 3
0,975 se 3 ≤ x < 4
1 se 4 ≤ x
Assinale a opção que dá o número de observações amostrais iguais a 3:
a) 195 b) 170 c) 130 d) 65 e) 25.
Solução: para valores iguais a 3, a probabilidade deve ser P( 2 < x ≤ 3) = 0,975 − 0,850 = 0,125 (de acordo com as propriedades acima). E o número de observações deve ser igual à essa probabilidade multiplicada pelo tamanho da amostra, isto é, 0,125 × 200 = 25. Resposta e.
Função de densidade
(Topo pág | Fim pág)
Este conceito e o anterior de função de distribuição podem ser bem compreendidos com a ajuda do exemplo numérico a seguir.
Sejam dois dados jogados de uma só vez. A soma dos números das faces voltadas para cima é o elemento que se deseja estudar. Pode-se facilmente concluir que os valores dessa soma são números inteiros entre 2 e 12. Há, portanto, uma variável aleatória discreta X, que pode assumir 11 valores xi conforme tabela abaixo.
| i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
| xi |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
| P( X = xi ) = p(xi) |
0,028 |
0,056 |
0,083 |
0,111 |
0,139 |
0,167 |
0,139 |
0,111 |
0,083 |
0,056 |
0,028 |
| P( X = xi ) acum = F(xi) |
0,028 |
0,083 |
0,167 |
0,278 |
0,417 |
0,583 |
0,722 |
0,833 |
0,917 |
0,972 |
1,000 |
As probabilidades de cada valor podem ser facilmente calculadas, uma vez que, em cada jogada, há 6 x 6 = 36 combinações possíveis (exemplo: o resultado 2 só pode ser 1 + 1. Assim, probabilidade 1/36 ≈ 0,028. O resultado 3 pode ser 1 + 2 ou 2 + 1, isto é, 2 combinações ou 2/36 ≈ 0,056. E de forma similar para os demais).
O gráfico da última linha da tabela, isto é, das probabilidades acumuladas, é dado em (a) da Figura 01. Nota-se que ele representa a própria função de distribuição segundo o tópico anterior: a soma das probabilidades até o índice i é igual à probabilidade de X ≤ xi.
Fig 01
Considera-se agora a hipótese de aumento do número de faces dos dados. Os limites superior e inferior do gráfico são mantidos porque probabilidade só pode variar de 0 a 1. Haverá então uma quantidade maior de valores entre esses extremos. Se o número de faces cresce indefinidamente, o resultado será uma curva contínua conforme indicado de forma aproximada pela linha tracejada do gráfico. Ou seja, será a função de distribuição para uma variável aleatória contínua.
O gráfico (b) da Figura 01 dá as probabilidades individuais, isto é, a terceira linha da tabela anterior. A função pode ser indicada por:
p(xi) = P( X = xi )#A.1#
Essa função tem as propriedades:
• 0 ≤ p(xi) ≤ 1 (porque é uma probabilidade)
• Σ p(xi) = 1 (porque a probabilidade de todo o conjunto é sempre unitária)
A função p(xi) é denominada função de probabilidade da variável aleatória discreta X. A sua relação com a função de distribuição é:
#A.2#
A curva tracejada indica a tendência para uma variável aleatória contínua conforme já visto para a função de distribuição. Considera-se agora a função:
f(xi) = p(xi) / Δx
Ou, no caso contínuo,
f(x) = p(x) / dx
Além da propriedade f(x) ≥ 0 (porque a probabilidade é maior ou igual a zero), ocorre também:
∫ f(x) dx = 1
De forma análoga ao somatório do caso discreto. Pode-se também demonstrar facilmente que a relação com a função de distribuição é:
#B.1#
Essa função (f) é denominada função de densidade de probabilidade (ou simplesmente função de densidade) da variável aleatória contínua X.
Desde que fisicamente a integral pode ser interpretada pela área sob a curva, pode-se dizer que a área sob a curva da função de densidade entre dois pontos genéricos a e b indica a probabilidade de a variável aleatória estar entre esses dois valores. Se a e b são os extremos (−∞ e +∞), a probabilidade é de todo o conjunto, ou seja, 1. Assim, a área total sob a curva da função de densidade é unitária.
Topo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Dez/2007
