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Probabilidades e estatística I-20




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Probabilidade condicional e eventos independentes |
Teorema de Bayes |
Fórmula de Bernoulli |



Probabilidade condicional e eventos independentes

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Há casos em que se deseja saber a probabilidade de um evento A, desde que ocorra um outro evento B. É a conhecida probabilidade condicional, isto é, probabilidade de A dada a ocorrência de B, que é simbolizada por:

P(A | B)#1.1#

Desde que B deve necessariamente ocorrer, o conjunto B pode ser considerado um espaço amostral restrito para este caso. E o evento a considerar não é todo o conjunto A, mas apenas os elementos de A que também estão em B, isto é, A Interseção B. Então a probabilidade é calculada por:

#2.1#

Se numerador e denominador são divididos pelo número de elementos no espaço amostral S, a probabilidade condicional fica definida em função de outras probabilidades:

#A.1#


Exemplo 01: seja S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} o espaço amostral do lançamento de um dado ideal.

Consideram-se os eventos:

• resultado 3, 4 ou 6:  A = {3, 4, 6} . Portanto,  P(A) = 3/6 = 1/2

• resultado par:  B = {2, 4, 6} . Portanto,  P(B) = 3/6 = 1/2

A interseção é:  A Interseção B = {4, 6} . Portanto,  P(A Interseção B) = 2/6 = 1/3

E a probabilidade de resultado 3, 4 ou 6 dado que é par é calculada por:

P(A | B) = (1/3) / (1/2) = 2/3


Voltando à igualdade #A.1#, pode-se concluir que, se o evento A não depende do evento B, a probabilidade de A condicionada à ocorrência de B deve ser igual à probabilidade de A, ou seja,

#B.0#

Reagrupando essa igualdade, obtém-se a definição:

Se A e B são eventos independentes,

P(A Interseção B) = P(A) P(B)#B.1#


No exemplo 01 anterior, P(A Interseção B) = 1/3 ≠ P(A) P(B) = 1/4. Portanto, os eventos não são independentes.


Exemplo 02: duas moedas ideais são jogadas. Verificar se os eventos cara na primeira e cara na segunda são independentes.

Supondo c cara e r coroa, o espaço amostral é S = {cc, cr, rc, rr}

Se A é o evento cara na primeira, A = {cc, cr} e P(A) = 1/2

Se B é o evento cara na segunda, B = {cc, rc} e P(B) = 1/2

A interseção de ambos é A Interseção B = {cc } e a probabilidade é P(A Interseção B) = 1/4

Então, P(A Interseção B) = 1/4 = P(A) P(B)

Portanto, os eventos A e B são independentes (isso pode ser deduzido fisicamente porque o resultado de uma moeda não interfere no resultado da outra).


Exemplo 03: em um baralho comum de 52 cartas, verificar se os eventos retirar um ás e retirar uma carta de ouro são independentes.

O espaço amostral S é formado pelas 52 cartas, cada uma com probabilidade 1/52.

Considerando A = retirar um ás, P(A) = 4/52 = 1/13

Considerando B = retirar uma carta de ouro, P(B) = 13/52 = 1/4

A interseção é retirar um ás de ouro e, portanto, P(A Interseção B) = 1/52

Calculando o produto, P(A) P(B) = (1/13) (1/4) = 1/52 = P(A Interseção B). Portanto, os eventos são independentes.



Teorema de Bayes

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Seja a probabilidade condicional, conforme já vista no tópico anterior,

P(A | B) = P(A Interseção B) / P(B)

Para B em relação a A,

P(B | A) = P(B Interseção A) / P(A).

Desde que A Interseção B = B Interseção A, pode-se combinar as igualdades e chegar a

#A.1#

Essa fórmula relaciona as duas probabilidades condicionais.

O teorema de Bayes é a relação anterior aplicada a uma seqüência de n eventos mutuamente exclusivos B1, B2, ... , Bn no lugar de um único evento B:

#A.2#


Exemplo 01: uma fábrica tem 3 linhas de produção para o mesmo produto com os seguintes resultados:

Linha 1 produz 60% do total com um percentual de defeito de 1%.
Linha 2 produz 30% do total com um percentual de defeito de 2%.
Linha 3 produz 10% do total com um percentual de defeito de 3%.

Pode-se considerar os eventos:

B1 o produto foi produzido na linha 1.
B2 o produto foi produzido na linha 2.
B3 o produto foi produzido na linha 3.

Esses eventos são disjuntos porque um produto não pode ser produzido por mais de uma linha. E as probabilidades são:

P(B1) = 60/100 = 0,6.
P(B2) = 30/100 = 0,3.
P(B3) = 10/100 = 0,1.

Supondo evento A igual a produto defeituoso,

P(A | B1) = probab prod defeituoso dado que produzido na linha 1 = 1/100 = 0,01.
P(A | B2) = probab prod defeituoso dado que produzido na linha 2 = 2/100 = 0,02.
P(A | B3) = probab prod defeituoso dado que produzido na linha 3 = 3/100 = 0,03.

Portanto, com os dados acima, o teorema de Bayes permite calcular a probabilidade de o produto ter sido produzido em uma determinada linha, P(Bi | A), considerando que está defeituoso.



Fórmula de Bernoulli

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Experimento composto é uma seqüência de experimentos independentes associados ao mesmo espaço amostral (exemplos: um dado ou uma moeda jogados repetidamente).

Seja um experimento composto em que cada experimento tem dois resultados possíveis:

sucesso, com probabilidade p

falha, com probabilidade q

Naturalmente, deve ocorrer sempre  p + q = 1

Se o evento A significa k sucessos em n experimentos, o teorema de Bernoulli dá a probabilidade desse evento:

P(A) = C(n, k) pk qn − k#A.1#

Onde C(n, k) é o coeficiente binomial:

#A.2#


Exemplo 01: uma moeda ideal é jogada 50 vezes. Calcular a probabilidade de 25 caras.

Os dados são n = 50, k = 25, p = q = 1/2. Calculando segundo fórmula anterior,

P = 0,112


Se B significa pelo menos s sucessos em n experimentos, a sua probabilidade é:

#B.1#


Voltando ao evento A anterior, o valor de k que resulta em maior probabilidade é dado por:

• se (n + 1)p não é inteiro, k = maior inteiro < (n + 1)p.
• se (n + 1)p é inteiro, k = (n + 1)p e também k = (n + 1)p − 1.

Exemplo 02: um par de dados é jogado 28 vezes. Qual o mais provável número de resultados (soma de ambos) iguais a sete?

Os parâmetros disponíveis são n = 28, p = 1/6. Calculando, (n + 1)p ≈ 4,83. Portanto, k = 4.


Referências:

GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.


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