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Probabilidades e estatística I-20
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Probabilidade condicional e eventos independentes |
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Fórmula de Bernoulli |
Probabilidade condicional e eventos independentes
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Há casos em que se deseja saber a probabilidade de um evento A, desde que ocorra um outro evento B. É a conhecida probabilidade condicional, isto é, probabilidade de A dada a ocorrência de B, que é simbolizada por:
P(A | B)#1.1#
Desde que B deve necessariamente ocorrer, o conjunto B pode ser considerado um espaço amostral restrito para este caso. E o evento a considerar não é todo o conjunto A, mas apenas os elementos de A que também estão em B, isto é, A 
B. Então a probabilidade é calculada por:
#2.1#
Se numerador e denominador são divididos pelo número de elementos no espaço amostral S, a probabilidade condicional fica definida em função de outras probabilidades:
#A.1#
Exemplo 01: seja S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} o espaço amostral do lançamento de um dado ideal.
Consideram-se os eventos:
• resultado 3, 4 ou 6: A = {3, 4, 6} . Portanto, P(A) = 3/6 = 1/2
• resultado par: B = {2, 4, 6} . Portanto, P(B) = 3/6 = 1/2
A interseção é: A B = {4, 6} . Portanto, P(A B) = 2/6 = 1/3
E a probabilidade de resultado 3, 4 ou 6 dado que é par é calculada por:
P(A | B) = (1/3) / (1/2) = 2/3
Voltando à igualdade #A.1#, pode-se concluir que, se o evento A não depende do evento B, a probabilidade de A condicionada à ocorrência de B deve ser igual à probabilidade de A, ou seja,
#B.0#
Reagrupando essa igualdade, obtém-se a definição:
Se A e B são eventos independentes,
P(A B) = P(A) P(B)#B.1#
No exemplo 01 anterior, P(A B) = 1/3 ≠ P(A) P(B) = 1/4. Portanto, os eventos não são independentes.
Exemplo 02: duas moedas ideais são jogadas. Verificar se os eventos cara na primeira e cara na segunda são independentes.
Supondo c cara e r coroa, o espaço amostral é S = {cc, cr, rc, rr}
Se A é o evento cara na primeira, A = {cc, cr} e P(A) = 1/2
Se B é o evento cara na segunda, B = {cc, rc} e P(B) = 1/2
A interseção de ambos é A B = {cc } e a probabilidade é P(A B) = 1/4
Então, P(A B) = 1/4 = P(A) P(B)
Portanto, os eventos A e B são independentes (isso pode ser deduzido fisicamente porque o resultado de uma moeda não interfere no resultado da outra).
Exemplo 03: em um baralho comum de 52 cartas, verificar se os eventos retirar um ás e retirar uma carta de ouro são independentes.
O espaço amostral S é formado pelas 52 cartas, cada uma com probabilidade 1/52.
Considerando A = retirar um ás, P(A) = 4/52 = 1/13
Considerando B = retirar uma carta de ouro, P(B) = 13/52 = 1/4
A interseção é retirar um ás de ouro e, portanto, P(A B) = 1/52
Calculando o produto, P(A) P(B) = (1/13) (1/4) = 1/52 = P(A B). Portanto, os eventos são independentes.
Teorema de Bayes
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Seja a probabilidade condicional, conforme já vista no tópico anterior,
P(A | B) = P(A B) / P(B)
Para B em relação a A,
P(B | A) = P(B A) / P(A).
Desde que A B = B A, pode-se combinar as igualdades e chegar a
#A.1#
Essa fórmula relaciona as duas probabilidades condicionais.
O teorema de Bayes é a relação anterior aplicada a uma seqüência de n eventos mutuamente exclusivos B1, B2, ... , Bn no lugar de um único evento B:
#A.2#
Exemplo 01: uma fábrica tem 3 linhas de produção para o mesmo produto com os seguintes resultados:
Linha 1 produz 60% do total com um percentual de defeito de 1%.
Linha 2 produz 30% do total com um percentual de defeito de 2%.
Linha 3 produz 10% do total com um percentual de defeito de 3%.
Pode-se considerar os eventos:
B1 o produto foi produzido na linha 1.
B2 o produto foi produzido na linha 2.
B3 o produto foi produzido na linha 3.
Esses eventos são disjuntos porque um produto não pode ser produzido por mais de uma linha. E as probabilidades são:
P(B1) = 60/100 = 0,6.
P(B2) = 30/100 = 0,3.
P(B3) = 10/100 = 0,1.
Supondo evento A igual a produto defeituoso,
P(A | B1) = probab prod defeituoso dado que produzido na linha 1 = 1/100 = 0,01.
P(A | B2) = probab prod defeituoso dado que produzido na linha 2 = 2/100 = 0,02.
P(A | B3) = probab prod defeituoso dado que produzido na linha 3 = 3/100 = 0,03.
Portanto, com os dados acima, o teorema de Bayes permite calcular a probabilidade de o produto ter sido produzido em uma determinada linha, P(Bi | A), considerando que está defeituoso.
Fórmula de Bernoulli
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Experimento composto é uma seqüência de experimentos independentes associados ao mesmo espaço amostral (exemplos: um dado ou uma moeda jogados repetidamente).
Seja um experimento composto em que cada experimento tem dois resultados possíveis:
• sucesso, com probabilidade p
• falha, com probabilidade q
Naturalmente, deve ocorrer sempre p + q = 1
Se o evento A significa k sucessos em n experimentos, o teorema de Bernoulli dá a probabilidade desse evento:
P(A) = C(n, k) pk qn − k#A.1#
Onde C(n, k) é o coeficiente binomial:
#A.2#
Exemplo 01: uma moeda ideal é jogada 50 vezes. Calcular a probabilidade de 25 caras.
Os dados são n = 50, k = 25, p = q = 1/2. Calculando segundo fórmula anterior,
P = 0,112
Se B significa pelo menos s sucessos em n experimentos, a sua probabilidade é:
#B.1#
Voltando ao evento A anterior, o valor de k que resulta em maior probabilidade é dado por:
• se (n + 1)p não é inteiro, k = maior inteiro < (n + 1)p.
• se (n + 1)p é inteiro, k = (n + 1)p e também k = (n + 1)p − 1.
Exemplo 02: um par de dados é jogado 28 vezes. Qual o mais provável número de resultados (soma de ambos) iguais a sete?
Os parâmetros disponíveis são n = 28, p = 1/6. Calculando, (n + 1)p ≈ 4,83. Portanto, k = 4.
Referências:
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
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NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.
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