Probabilidades e estatística I-10

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Probabilidades e estatística I-10

Probabilidade e conceitos relacionados

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Freqüência relativa (r_A) de um evento A é a razão entre o número de vezes em que esse evento se repete (n_A) e o número total (n) de eventos que for tomado como referência:

#A.1#

Exemplo: em um lote de 500 peças produzidas, há 20 defeituosas. Se A é o evento "peça com defeito" e a referência é todo o lote, a freqüência relativa de peças defeituosas é

20/500 = 0,04 = 4%

Pode-se concluir que a freqüência relativa é um número positivo entre 0 e 1 (ou entre 0 e 100, se multiplicado por 100 para resultado percentual).

Para a definição de probabilidade, toma-se a ajuda do caso particular da moeda ideal, que seria uma moeda de material perfeitamente homogêneo, de simetria perfeita entre faces e de espessura desprezível, de forma que as chances de cara e de coroa sejam iguais.

Na noção intuitiva, diz-se que a probabilidade de cara (que é igual à de coroa) de uma moeda ideal é 0,5 (ou 50%). Mas, se a moeda for jogada 4 vezes por exemplo, a freqüência relativa não será necessariamente 0,5 para cada (2 caras e 2 coroas). Embora essa seja a mais provável, podem ocorrer outras combinações (1 cara e 3 coroas, etc). Entretanto, com o aumento do número de jogadas, a freqüência relativa para cara e para coroa tende a aproximar-se de 0,5.

E a definição clássica de probabilidade é dada pelo limite da freqüência relativa:

#A.1#

A probabilidade de um evento A, P(A), é dada, portanto, pelo limite da sua freqüência relativa quando o número de observações tende para infinito.

Da definição, conclui-se que, para qualquer A,

0 ≤ P(A) ≤ 1#B.2#

Espaço amostral é um conjunto que contém todos os resultados possíveis de um experimento. Assim, no contexto desse experimento, ele é considerado o conjunto universal e simbolizado por S. Exemplos a seguir.

• no jogo de uma moeda, se convencionado "c" resultado cara e "r" resultado coroa, o espaço amostral é

S = {c, r}.

• no jogo de um dado, se o resultado a estudar é o número da face voltada para cima, o espaço amostral é

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Num conceito mais amplo, evento é definido como um subconjunto qualquer do espaço amostral. Portanto, um evento pode representar mais de um resultado. Exemplos:

• no jogo de dado, se o evento A significa resultado igual a 2,

A = { 2 }.

• no mesmo jogo, se o evento B significa resultado par,

B = {2, 4, 6}.

A seguir, algumas relações entre espaços amostrais, eventos e probabilidades.

• Se A é um evento do espaço amostral S, segundo notação de conjuntos, A Subconjunto de

S.

• Se A = S, ele é dito evento certo e, naturalmente, P(A) = 1 (a probabilidade do evento certo é 1).

• Se A = Ø, ele é dito evento impossível e, portanto, P(A) = 0 (a probabilidade do evento impossível é nula).

Probabilidade e espaço amostral

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Se A é um evento do espaço amostral S e se todos os elementos de S têm a mesma probabilidade, pode-se definir a probabilidade de A pela relação entre o número de elementos em A e o número de elementos em S:

#A.1#

Exemplo: para um dado, o espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se A é o evento resultado maior que 4 e o dado é ideal (todos os elementos têm a mesma probabilidade),

A = {5, 6}

Portanto, P(A) = 2/6 = 1/3.

Seguem relações básicas, algumas das quais já vistas no tópico anterior.

0 ≤ P(A) ≤ 1 para qualquer evento A#B.1#

P(Ø) = 0#B.2#

P(S) = 1#B.3#

P(A') = 1 − P(A)#B.4#

Se A Subconjunto de

B, então P(A) ≤ P(B)#B.5#

P(A União

B) = P(A) + P(B) − P(A Interseção

B)#B.6#

Da relação #B.6#, conclui-se que, se A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos), A B = Ø. Portanto,

P(A União

B) = P(A) + P(B)#B.7.1#

E a igualdade pode ser estendida para qualquer número de eventos (se A₁, ... , A_n são disjuntos):

P(A₁ União

...

A_n) = P(A₁) + ... + P(A_n)#B.7.2#

Exemplo: seja o espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} de um dado ideal.

O evento resultado par é dado por:

A = {2, 4, 6}. Portanto, P(A) = 3/6 = 1/2.

O evento resultado igual a 3 é dado por:

B = { 3 }. Portanto, P(B) = 1/6.

A e B são disjuntos porque não têm elementos comuns. Então, a probabilidade de resultado par ou resultado igual a 3 é

P(A) + P(B) = 1/2 + 1/6 = 2/3.

Referências:

GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.

NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

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