Probabilidades e estatística I-00

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Probabilidades e estatística I-00

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Este tópico procura dar algumas informações sobre teoria dos conjuntos, limitando-se aos aspectos mais simples e necessários ao estudo das probabilidades.

Um conjunto pode ser considerado uma coleção de elementos ou eventos.

Conjunto universal ou simplesmente universo é o que contém todos os elementos ou eventos que serão objetos de análise.

Aqui é usado o símbolo S para o conjunto universal (a letra U é também usada). Exemplos de conjunto universal: as pessoas de uma cidade cuja população é objeto de estudo, todas as combinações possíveis de um determinado jogo, etc.

Os exemplos anteriores se referem a conjuntos de finitos elementos. Os conjuntos podem ter infinitos elementos. Exemplo: todos os números maiores que zero.

Na analogia gráfica, um conjunto pode ser representado por uma determinada área. Na Figura 01, supõe-se que a área de cor cinza representa o conjunto universal S.

Subconjunto de outro é um conjunto cujos elementos são também elementos desse outro. Em (a) da Figura 01, A e B são subconjuntos de S. Notação: para indicar que A é subconjunto de S, usa-se:

#A.1#

Essa expressão é usualmente lida na forma: "A está contido em S". Naturalmente, todo conjunto é um subconjunto de si mesmo.

Superconjunto de outro é um conjunto que contém todos os elementos desse outro. A notação clássica é:

#A.2#

Indica que S é um superconjunto de A. Pode ser também lida "S contém A". De forma análoga, todo conjunto é também um superconjunto seu.

Elementos de um conjunto podem ser simbolizados por letras ou números com ou sem índices. A notação comum usa chaves segundo exemplo a seguir.

#B.1#

Indica que o conjunto A é formado pelos elementos "a", "b", "c" e "d".

Para indicar que um elemento pertence ou não a um conjunto, usam-se os símbolos:

• a é elemento do conjunto A:

#B.2#

• a não é elemento do conjunto A:

#B.3#

Figura 01

Conjunto vazio é um conjunto sem elementos. Pode-se então deduzir que ele é subconjunto de qualquer outro. Símbolo usual:

#C.1#

União de dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos de um ou de outro ou de ambos. A parte (a) da Figura 01 dá uma ilustração gráfica dos conjuntos A e B. Em (b) da mesma figura, a união deles. Simbologia usual:

#D.1#

Interseção de dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a ambos. A parte (c) da Figura 01 exibe a ilustração gráfica da interseção dos conjuntos A e B anteriores. Símbolo de praxe:

#E.1#

Complemento (ou complemento absoluto) de um conjunto é o conjunto formado pelos elementos que não lhe pertencem e pertencem ao conjunto universal. O complemento de um conjunto A é simbolizado por:

#F.1#

Ilustração gráfica do complemento do conjunto A anterior é dada em (d) da Figura 01. Do conceito de complemento, podem ser deduzidas as relações a seguir.

#F.2#

#F.3#

#F.4#

#F.5#

Complemento relativo é basicamente o conceito anterior de complemento, com o conjunto universal substituído por outro genérico. Sejam, por exemplo, os conjuntos A e B. O complemento relativo de B em A é a diferença entre eles, isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não a B. Símbolos usados são barra invertida (\) ou sinal de subtração (−).

#G.1#

Então, o complemento absoluto pode ser dado por:

#G.2#

Em (e) da Figura 01, os conjuntos A e C não têm elementos comuns. Portanto, s interseção deles é o conjunto vazio conforme (e) da mesma figura.

Eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos são eventos que pertencem a conjuntos de interseção vazia. Na prática, significa que, se um ocorre, outro não pode ocorrer.

Um conjunto é dito fechado sob alguma operação se essa operação aplicada a seus elementos resultam em elementos do conjunto. Exemplo: o conjunto dos números reais é fechado para a operação de subtração, mas o conjunto dos números naturais (inteiros maiores ou iguais a zero) não é porque o resultado de uma subtração pode ser negativo.

σ-álgebra (sigma-álgebra) de um conjunto X é uma coleção de subconjuntos de X que é fechada para complementos e uniões de seus membros.

Exemplo: seja X = {a, b, c, d}. O conjunto abaixo é um possível σ-álgebra de X.

#H.1#

Referências:

GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.

NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

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