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Representações paramétricas
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Introdução |
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Introdução
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Considera-se por simplicidade uma curva plana genérica dada pela função y = F(x) conforme Figura 01 abaixo. Portanto, a função y = F(x) é a forma convencional de representação da curva.
A forma paramétrica da curva considera as coordenadas de um ponto genérico P(x, y) dadas por:
x = f(t)#A.1#
y = g(t)#A.2#
Ou seja, as coordenadas de cada ponto da curva são funções de uma variável independente t, denominada parâmetro.
Em geral, as equações paramétricas não são únicas. Uma mesma curva pode ser representada por uma variedade de formas paramétricas.
Fig 01
Para uma curva no espaço, deve-se ter naturalmente as 3 coordenadas e as correspondentes funções:
x = f(t)#B.1#
y = g(t)#B.2#
z = h(t)#B.3#
O parâmetro de uma curva é quase sempre simbolizado por t, porque em muitos fenômenos físicos o tempo é a variável usual de parâmetro (a forma paramétrica é um modo conveniente para indicar a trajetória de uma partícula em relação ao tempo). Superfícies são representadas por dois parâmetros e são comuns os símbolos u e v para eles.
Alguns exemplos
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A Figura 01 deste tópico dá indicação de uma linha reta que se supõe corresponder à função:
y = 2x + 1#A.1#
Uma parametrização simples é considerar:
f(t) = t#A.2#
Fig 01
Portanto, as relações a seguir formam um conjunto de equações paramétricas para essa reta:
x = t#A.3#
y = 2t + 1#A.4#
Considera-se agora, para o mesmo exemplo, a função:
f(t) = t3 + 1#A.5#
Portanto,
x = t3 + 1#A.6#
y = 2 (t3 + 1) + 1 = 2t3 + 3#A.7#
Nota-se que algumas parametrizações podem impor restrições. Seja uma outra função para essa reta:
x = t2#A.8#
Então:
x = t2#A.9#
y = 2t2 + 1#A.10#
Esse conjunto só representa a reta para x ≥ 0 porque t2 é sempre positivo para valores reais.
Seja uma circunferência de raio r e centro (x0, y0) conforme indicado na Figura 02. A equação convencional para a curva é:
(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2#B.1#
Dividindo tudo por r,
[(x − x0) / r]2 + [(y − y0) / r]2 = 1#B.2#
Considera-se a relação trigonométrica:
sin2 t + cos2 t = 1#B.3#
Conclui-se então que uma forma paramétrica da circunferência é:
x = x0 + r sin t#B.4#
y = y0 + r cos t#B.5#
Fig 02
Para uma elipse de semi-eixos a e b e centro em (x0, y0), a relação fundamental é:
#C.1#
Procedendo de forma similar à da circunferência,
x = x0 + a sin t#C.2#
y = y0 + b cos t#C.3#
No caso de uma hipérbole, a equação básica é:
#D.1#
Usa-se a relação trigonométrica:
cosec2 t − cot2 t = 1#D.2#
Portanto, uma forma paramétrica é:
x = x0 + a cosec t#D.3#
y = y0 + b cot t#D.4#
Examina-se agora o caso de uma parábola (Figura 03) na forma:
y = − ax2 + b#E.1#
Por substituição de valores pode-se facilmente concluir que o vértice (x = 0) está em (0, b) e a parte direita cruza o eixo x (y = 0) em (√(b/a), 0).
Considera-se um parâmetro t tal que
x = c t#E.2#
Onde c é uma constante. Substituindo em #E.1# para determinar y em função de t,
y = − a c2 t2 + b#E.3#
Fig 03
Analisa-se um significado físico para esse caso particular: se t é tempo, x e y são as coordenadas de posição de uma partícula que se move ao longo da parábola. Considera-se apenas a parte com x e y positivos, isto é, no primeiro quadrante.
A velocidade horizontal (ao longo do eixo x) é dada pela derivação:
#E.4#
Portanto, a aceleração horizontal é nula. E a velocidade vertical pode ser computada:
#E.5#
Nota-se que a velocidade vertical não é constante e varia linearmente com o tempo. A aceleração vertical é dada por:
#E.6#
Resumindo, a partícula se move com velocidade horizontal constante igual a (v0x) e aceleração vertical constante igual a (− 2 a c2). Desprezando a resistência do ar, é o caso de um corpo lançado horizontalmente com velocidade v0x de uma altura b e sujeito à aceleração da gravidade g tal que:
2 a v0x2 = g#E.7#
E a distância horizontal percorrida pelo corpo é
#E.8#
Seja outro exemplo, desta vez de curva no espaço: uma hélice pode ser definida como o lugar geométrico de um ponto que, em relação a um eixo, executa um movimento de rotação uniforme na direção radial e um movimento de translação uniforme na direção axial (ver Figura 04).
Fig 04
A partir dessa definição, a equação paramétrica da hélice pode ser facilmente deduzida:
x = a cos t#F.1#
y = a sin t#F.2#
z = b t#F.3#
Onde:
a = raio da hélice
#F.4#
h = passo da hélice
Muitos programas gráficos usam formas paramétricas. Como exemplo, a hélice da figura foi traçada com Gnuplot conforme o script (com a = b = 1):
set dummy u
set key right below Right noreverse noinvert enhanced box linetype -2
linewidth 1.000 samplen 4 spacing 1 width 0 height 0 autotitles
set parametric
set view 45, 50, 1, 1
set isosamples 100, 2
set hidden3d offset 1 trianglepattern 3 undefined 1 altdiagonal bentover
set ticslevel 0
set urange [ 0.00000 : 18 ] noreverse nowriteback
splot cos(u),sin(u),u
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