|
|||
Determinante é uma função que associa um escalar a uma matriz quadrada. É um importante conceito matemático, usado, por exemplo, na solução de sistemas de equações lineares.
Símbolos e determinantes de segunda ordem
| Topo pág | Fim pág |Na forma compacta, o determinante de uma matriz quadrada A é simbolizado por
det(A) #1.1#.O determinante também pode ser representado pelos elementos da matriz, com a substituição dos colchetes por barras verticais. Seja, por exemplo, uma matriz 2×2,
A seguir, os símbolos mencionados e a operação aritmética que define o determinante da matriz.
#A.1#O determinante acima é de segunda ordem, em razão da dimensão da matriz.
Determinantes de ordens superiores
| Topo pág | Fim pág |Determinantes de terceira ordem ou superior podem ser calculados por decomposição. Seja uma matriz genérica 3×3:
Considera-se, por exemplo, a primeira linha da matriz. Cada elemento dessa linha é multiplicado pelo determinante da matriz que restar pela eliminação da linha e da coluna que passam pelo elemento. E o determinante da matriz 3×3 é a soma dessas parcelas, considerando sinal positivo para coluna ímpar e negativo para coluna par.
Na operação acima, os determinantes de segunda ordem são calculados de acordo com fórmula do tópico anterior. Com a aplicação desse procedimento em cascata, determinantes de quaisquer ordens podem ser calculados.
Algumas propriedades dos determinantes
| Topo pág | Fim pág || #A.1# | Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas. |  |
| #B.1# | Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal. |  |
| #C.1# | Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si, proporcionais entre si ou uma linha ou coluna é nula, o determinante é nulo (k é um número qualquer). |  |
| #D.1# | Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência. |  |
| #E.1# | Um determinante não se altera se, aos elementos de uma linha ou coluna, são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna. |  |
| #F.1# | det(A B) = det(A) det(B) |
|
| #G.1# | det(kIn) = kn. Portanto,det(kA) = kn det(A), onde A é uma matriz n×n |
|
| #H.1# | det(A−1) = [ det(A) ]−1 |
|
| #I.1# | det(AT) = det(A) |
Determinantes e equações lineares
| Topo pág | Fim pág |Determinantes podem ser usados para resolver sistemas de equações lineares. Seja, como exemplo, um sistema de 3 equações e 3 incógnitas:
Em termos de matrizes, ele pode ser escrito como
A X = B. Ou na forma expandida:
A: matriz dos coeficientes.
X: matriz das incógnitas.
B: matriz dos termos independentes.
As matrizes A1, A2 e A3 são formadas pela substituição, na matriz A, da primeira, segunda e terceira colunas pela coluna da matriz B.
E a solução do sistema é:
| x1 = | det(A1) | #A.1# | |
| det(A) |
| x2 = | det(A2) | #A.2# | |
| det(A) |
| x3 = | det(A3) | #A.3# | |
| det(A) |
Naturalmente, para que o sistema tenha solução, o determinante da matriz A não pode ser nulo, isto é,
det(A) ≠ 0.Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Jun/2008
|
Melhor visto com 1024x768 px Termos de uso |
|
Referências: APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969. |
Planetmath. http://planetmath.org/. VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971. |