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Determinando a matriz inversa
| Topo pág | Fim pág |Neste tópico são dados os passos para a determinação da matriz inversa pelo método de Gauss-Jordan.
Seja a matriz abaixo, cuja inversa se deseja saber.
O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito:
O objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por escalares de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo. Notar que esses escalares não são elementos da matriz. Devem ser escolhidos de acordo com o resultado desejado.
1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por −1.
Com essa operação, consegue-se 1 no elemento 11 (primeira linha, primeira coluna) da matriz esquerda.
Os elementos 12 e 13 tornaram-se nulos, mas é apenas uma coincidência. Em geral isso não ocorre logo na primeira operação.
2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por −1.
3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por −2.
Com as operações acima, os elementos 21 e 22 tornaram-se nulos, formando a primeira coluna da matriz unitária.
3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por −3.
Essa operação forma a segunda coluna da matriz identidade:
3ª linha = 3ª linha multiplicada por −1.
Multiplicação executada para fazer 1 no elemento 33 da matriz esquerda.
2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por −1.
Essa operação forma a terceira e última coluna da desejada matriz identidade no lado esquerdo.
E a matriz inversa é a parte da direita:
É claro que há outros métodos para a finalidade. Para matrizes 2×2, uma fórmula rápida é dada a seguir (det = determinante. Ver próxima página).
O método de Gauss-Jordan pode ser usado também para resolver um sistema de equações lineares. Nesse caso, a matriz inicial é a matriz dos coeficientes e a matriz a acrescentar é a matriz dos termos independentes (de uma coluna).
Seja, por exemplo, o seguinte sistema de equações:
Monta-se a matriz:
Usando procedimento similar ao anterior, obtém-se a matriz unitária no lado esquerdo.
E a solução do sistema é:
x = 124 y = 75 z = 31
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Referências: APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969. |
Planetmath. http://planetmath.org/. VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971. |