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Matrizes e determinantes I-20 Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Multiplicação de matrizes | Transposição de matrizes | Matriz inversa |

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Multiplicação de matrizes

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Sejam Am×p e Bp×n, isto é, duas matrizes tais que o número de colunas da primeira (p) é igual ao número de linhas da segunda (p).

O produto C = AB é uma matriz m×n (Cm×n) tal que

cij = ∑k=1,p aik bkj #A.1#. Exemplo:



No exemplo acima, os cálculos são:

c11 = 4.1 + 0.2 + 5.1 = 9
c12 = 4.2 + 0.5 + 5.0 = 8
c21 = 1.1 + 1.2 + 3.1 = 6
c22 = 1.2 + 1.5 + 3.0 = 7

Na linguagem prática, pode-se dizer que se toma a primeira linha de A e se multiplica pela primeira coluna de B (a soma é a primeira linha e primeira coluna da matriz do produto). Depois, a primeira linha de A pela segunda coluna de B. Depois, a segunda linha de A pela primeira coluna de B e assim sucessivamente.

Ordem dos fatores

Notar que, segundo a definição anterior de produto, só é possível calcular AB e BA se A e B são matrizes quadradas. Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente. Em geral, AB ≠ BA. Exemplos a seguir.





Isso significa que nem sempre ocorre a propriedade comutativa. Se AB = BA, as matrizes A e B são denominadas comutativas.


Algumas propriedades do produto de matrizes

Sejam as matrizes A, B e C.

Se os produtos A (BC) e (AB) C são possíveis de cálculo, então	A (BC) = (AB) C	#B.1#
Se os produtos AC e BC são possíveis, então	(A + B) C = AC + BC	#B.2#
Se os produtos CA e CB são possíveis, então	C (A + B) = CA + CB	#B.3#
Se Ip é a matriz unitária p×p,	Ip Ap×n = Ap×n	#B.4#
Se Ip é a matriz unitária p×p,	Bm×p Ip = Bm×p	#B.5#

Potências de matrizes

Seja A uma matriz quadrada e n um inteiro n≥1. As relações básicas de potências são:

A0 = I	#C.1#
An = A An−1	#C.2#

Transposição de matrizes

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Seja uma matriz Am×n. A matriz transposta de A, usualmente simbolizada por AT, é uma matriz n×m tal que

aTij = aji para 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m #A.1#.

Na prática, as linhas de uma são as colunas da outra. Exemplo:




Algumas propriedades da transposição de matrizes

(AT)T = A	#B.1#
(A + B)T = AT + BT	#B.2#
(kA)T = k AT	#B.3#
(AB)T = BT AT	#B.4#
Se A = AT, então A é simétrica	#B.5#
det(AT) = det(A)	#B.6#

Matriz inversa

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Seja A uma matriz quadrada. A matriz inversa de A, usualmente simbolizada por A⁻¹, é uma matriz também quadrada tal que

A A−1 = A−1 A = I #A.1#.

Ou seja, o produto de ambas é a matriz unitária (ou matriz identidade).

Nem toda matriz quadrada admite uma matriz inversa. Se a matriz não possui inversa, ela é dita matriz singular. Se a inversa é possível, ela é uma matriz não singular.


Algumas propriedades das matrizes inversas

(A−1)−1 = A	#B.1#
(AB)−1 = B−1 A−1	#B.2#
(AT)−1 = (A−1)T	#B.3#

Matriz ortogonal é uma matriz quadrada cuja transposta é igual á sua inversa. Portanto,

A AT = AT A = I  #C.1# se A é ortogonal.


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Referências: APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.

Planetmath. http://planetmath.org/. VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.