MSPC    Informações técnicas | Mapa | Fim pág |

 

Matrizes e determinantes I-10 Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Conceito | Adição e subtração | Multiplicação por um escalar | Matrizes nulas, quadradas, unitárias, diagonais e simétricas |

Índices Ciência dos materiais Eletricidade e eletromagnetismo Eletrônica digital Eletrônica em geral Fluidos, calor, frio, etc Informática Matemática Mecânica teórica Resistência dos materiais Temas técnicos diversos Temas diversos Termodinâmica / transmissão de calor

---

Conceito

  | Topo pág | Fim pág |

Matrizes formam um importante conceito matemático, de especial uso no estudo de transformações lineares. Não é o propósito desta página a teoria dessas transformações, mas apenas alguns fundamentos e operações básicas com matrizes que as representam.



Uma matriz A_m×n pode ser entendida como um conjunto de m×n (m multiplicado por n) números ou variáveis dispostos em m linhas e n colunas e destacados por colchetes conforme acima indicado. Segue exemplo de uma matriz 2×3:



Rigorosamente, uma matriz Am×n é definida como uma função cujo domínio é o conjunto de todos os pares de números inteiros (i, j) tais que 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. E os valores que a função pode assumir são dados pelos elementos aij.

Adição e subtração

  | Topo pág | Fim pág |

Essa operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas.

Sejam duas matrizes Am×n e Bm×n. Então a matriz

R = A ± B é uma matriz m×n tal que cada elemento de R é dado por:

rij = aij ± bij #A.1#. Exemplo:

Multiplicação por um escalar

  | Topo pág | Fim pág |

Nessa operação, todos os elementos da matriz são multiplicados pelo escalar. Se A_m×n é uma matriz qualquer e c é um escalar qualquer,

P = c A é uma matriz m×n tal que

pij = c aij #A.1#. Exemplo a seguir.



Algumas propriedades das operações de adição e de multiplicação por escalar

Sejam as matrizes A e B, ambas m×n, e os escalares a e b.

a (bA) = ab (A)	#B.1#
a (A + B) = aA + aB	#B.2#
Se aA = aB, então A = B	#B.3#

Matrizes nulas, quadradas, unitárias, diagonais e simétricas

  | Topo pág | Fim pág |


Uma matriz m×n é dita matriz nula se todos os elementos são iguais a zero. Geralmente simbolizada por Om×n.

Assim, Oij = 0 #A.1#. Exemplo:




Matriz quadrada é a matriz cujo número de linhas é igual ao de colunas. Portanto, se Am×n é quadrada, m = n. Exemplo:




Matriz unitária I_n (ou matriz identidade) é uma matriz quadrada n×n tal que

Iij = 1 se i = j #B.1#
Iij = 0 se i ≠ j #B.2#. Exemplo:




Uma matriz quadrada An×n é dita matriz diagonal se

aij = 0 para i ≠ j #C.1# Exemplo:



A matriz unitária é, portanto, uma matriz diagonal com os elementos não nulos iguais a 1.


Uma matriz quadrada An×n é dita matriz simétrica se

aij = aji #D.1#. Exemplo:




Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página Última revisão ou atualização: Abr/2008

Melhor visto com 1024x768 px Termos de uso

Referências: APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.

Planetmath. http://planetmath.org/. VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.