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Séries aritméticas e geométricas
| Topo pág | Fim pág |Obs: neste tópico, os índices são contados a partir de zero. Portanto, o último termo de uma série de n ternos tem índice n − 1.
Série (ou progressão) aritmética simples
A diferença entre dois termos consecutivos é constante. Se x é o valor inicial, d a diferença e n o número de termos, a série é dada por:
[x] [x+d] [x+2d] ... [x+(n−2)d] [x+(n−1)d] #A.1#.Pode-se verificar que a soma de dois termos igualmente distantes das extremidades é igual. Por exemplo,
x + x+(n−1)d = x+d + x+(n−2)d = 2x + (n−1)d. Então a soma dos termos será:| s = | [ 2x + (n−1)d ] n | #A.2# |
| 2 |
Desde que o último termo é
xn−1 = x + (n−1)d e o primeiro termo é x0 = x, a fórmula anterior pode ser modificada para:| s = | (x0 + xn−1) n | #A.3# |
| 2 |
Série (ou progressão) geométrica
O quociente entre dois termos consecutivos é constante. Se x é o valor inicial, q o quociente e n o número de termos, a série é dada por:
[x] [xq] [xq2] ... [xqn−2] [xqn−1] #B.1#.Para calcular a soma,
s = x + xq + xq2 + ... + xqn−2 + xqn−1 sq = xq + xq2 + ... + xqn−2 + xqn−1 + xqn
Subtraindo as igualdades,
s − sq = x − xqn. Assim,| s = | x (1 − qn) | #C.1# |
| 1 − q |
No caso de série decrescente, q < 1. Se o números de termos é ilimitado, pode-se considerar qn nulo. E, para este caso particular, a soma é:
s = x / (1 − q) #C.2#.Exemplo: para calcular a fração geratriz da dízima periódica
2,216666..., considera-se:2,216666... = 2 + 21/100 + [ 6/1000 + 6/10000 + 6/100000 + ... ].A expressão entre colchetes é uma série geométrica decrescente e ilimitada com x = 6/1000 e q = (6/10000) / (6/1000) = 1/10. Portanto, a soma é
s = (6/1000) / (1 − 1/10) = 6/900. Substituindo,2,216666... = 2 + 21/100 + 6/900 = 2 13/60.Exemplo (matemática financeira)
Seja uma progressão geométrica com valor inicial C0 e crescente, isto é, q > 1. Se cada termo é considerado um valor para determinado período de tempo, o valor após n períodos é:
Cn = C0 qn #D.1#. Fazendo q = 1 + r #D.2#, pode-se considerar r a taxa de aumento da progressão. EntãoCn = C0 (1 + r)n #D.3#.Fazendo
r = p / 100 #D.4#, tem-se q = 1 + p / 100 #D.5#. Ou seja, p é o aumento percentual de cada termo em relação ao anterior. Combinando ambas, o resultado é a fórmula clássica do juro composto, isto é, um valor inicial C0 com juros de p% por período terá após n períodos o valor:Cn = C0 (1 + p/100)n #D.6#.Supõe-se agora que y representa o número de anos e n, o número de períodos por ano. Então o total de períodos é
yn e, se r é a taxa por ano, a taxa por período é:r/n ou p/(100 n) #E.1#. Substituindo, Cy = C0 (1 + r/n)yn #E.2#.Introduzindo uma variável auxuliar
m = n/r #E.3#, Cy = C0 (1 + 1/m)yrm = Cy = C0 [ (1 + 1/m)m ]yr #E.4#.Na situação limite, o valor de n (e, portanto, de m) aumenta indefinidamente. Então,
Cy = C0 [ limm→∞ (1 + 1/m)m ]yr #E.5#. Mas o limite matemático de (1 + 1/m)m é o número e (≈ 2,71828). Assim,Cy = C0 eyr = C0 eyp/100 #E.6#.Essa é a fórmula do juro contínuo, onde y é o número de anos (ou períodos), p é o percentual de juros por ano (ou período), C0 e Cy são os valores inicial e após y anos (ou períodos) respectivamente.
Para uma formulação mais coerente com a praxe matemática, substitui-se y pela vatiável t (tempo em anos ou períodos convencionados):
Ct = C(t) = C0 ert #E.7#.Derivando em relação a t,
dC(t)/dt = r C0 ert = r C(t) #E.8#. Isso significa que, em cada instante, a variação do capital é igual á taxa multiplicada pelo próprio capital. Notar que é um resultado perfeitamente lógico para o conceito de juro contínuo.Séries infinitas
| Topo pág | Fim pág |A fórmula de Taylor permite calcular o valor de uma função com o grau de precisão que se desejar. Seja uma função f(x) cujas derivadas sucessivas no ponto x = a, isto é, f(a), f'(a), f''(a), f'''(a), etc, são conhecidas. Então,
f(x) = f(a) + (x − a) f'(a) / 1! + (x − a)2 f''(a) / 2! + (x − a)3 f'''(a) / 3! + ... #A.1#.Se a = 0, tem-se uma série de potências para representar uma função:
f(x) = f(0) + x f'(0) / 1! + x2 f''(0) / 2! + x3 f'''(0) / 3! + ... #A.2#.Exemplo:
Se
f(x) = ex, as derivadas são f'(x) = ex, f''(x) = ex, etc. Portanto, f(0) = f'(0) = f''(0) = ... = 1. Ou ex = 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + ... . Isso significa que o número e pode ser dado por:e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... #B.1#.A tabela abaixo dá resultados para algumas funções usuais.
| Série | Restrição | Ref |
| sen x = x/1! − x3/3! + x5/5! − x7/7! + ... | #C.1.1# | |
| cos x = 1 − x2/2! + x4/4! − x6/6! + ... | #C.1.2# | |
| tan x = x + (1/3)x3 + (2/15)x5 + (17/315)x7 + (62/2835)x9 + ... | |x| < π/2 | #C.1.3# |
| sen−1 x = x + (1 . x3)/(2 . 3) + (1 . 3 . x5)/(2 . 4 . 5) + (1 . 3 . 5 . x7)/(2 . 4 . 6 . 7) + ... | |x| ≤ 1 | #C.1.4# |
| tan−1 x = x/1 − x3/3 + x5/5 − x7/7 + ... | |x| ≤ 1 | #C.1.5# |
| ex = 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + ... | #C.2.1# | |
| e−x = 1 − x/1! + x2/2! − x3/3! + ... | #C.2.2# | |
| (ex − e−x)/2 = x + x3/3! + x5/5! + ... = senh x (seno hiperbólico) | #C.2.3# | |
| (ex + e−x)/2 = x + x2/2! + x4/4! + ... = cosh x (co-seno hiperbólico) | #C.2.4# | |
| ejx = 1 + jx/1! − x2/2! − jx3/3! + x4/4! + jx5/5! − ... onde j = √−1 | #C.2.5# | |
| e−jx = 1 − jx/1! − x2/2! + jx3/3! + x4/4! − ... onde j = √−1 | #C.2.6# | |
| ax = 1 + (ln a) x / 1! + (ln a)2 x2 / 2! + (ln a)3 x3 / 3! + ... | a > 0 | #C.2.7# |
| (1/2) ln x = [(x−1)/(x+1)] + (1/3)[(x−1)/(x+1)]3 + (1/5)[(x−1)/(x+1)]5 + ... | x > 0 | #C.3.1# |
A série #C.2.5# pode ser reagrupada para
ejx = 1 − x2/2! + x4/4! − ... + jx/1! − jx3/3! + jx5/5! − ... . Separando j,ejx = 1 − x2/2! + x4/4! − ... + j (x/1! − x3/3! + x5/5! − ...).Considerando #C.1.2# e #C.1.1#, resulta em
ejx = cos x + j sen x onde j = √−1 #D.1#.Usando método similar para #C.2.6#,
e−jx = cos x − j sen x onde j = √−1 #D.2#.Essas igualdades são usadas para representar números complexos. Se ambas são subtraídas e somadas, os resultados são:
(ejx − e−jx)/2 = j sen x #E.1#.(ejx + e−jx)/2 = cos x #E.2#. Ver semelhança com #C.2.3# e #C.2.4#.Triângulos
| Topo pág | Fim pág |Algumas propriedades de um triângulo qualquer.
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| Figura 01 |
A / sen a = B / sen B = C / sen c #A.1#.Lei dos co-senos:
A2 = B2 + C2 − 2BC cos a #B.1#.E de forma similar para os outros lados (B e C). Se o ângulo oposto é 90°, a igualdade é o Teorema de Pitágoras.
Área:
S = (1/2) BC sen a #C.1# e de forma similar para os demais.Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Mar/2008
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Referências: BOUCHÉ, Ch; LEITNER, A; SASS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979. GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus. |
Planetmath. http://planetmath.org/. SIMMONS, H. A. College Algebra. New York: Macmillan. VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971. |