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Números complexos

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A raiz quadrada de um número negativo não tem solução algébrica e é considerada um número imaginário e a unidade imaginária é indicada por:

j = √−1 #A.1#.

Exemplo: √(−9) = 3 j. Da definição acima, deduz-se que j2 = 1 #A.2#.

Obs: na praxe matemática, é usual representar a unidade imaginária por i e não j. Considerando que os números complexos são muito usados em eletricidade, no estudo de correntes alternadas, essa notação (j) é aqui usada para não confundir com o i que se refere à corrente elétrica.

Um número complexo é formado por um número real e um número imaginário. De forma genérica,

a + jb #B.1#.

Graficamente, num sistema de coordenadas ortogonais, os números reais estão sobre o eixo horizontal e os imaginários, sobre o eixo vertical conforme Figura 01.

Figura 01

Assim, um ponto genérico z representa um número complexo dado por suas coordenadas:

z = a + jb #B.2#.

Desde que a = r cos φ e b = r sen φ, pode-se escrever a forma trigonométrica de um número complexo:

z = r (cos φ + j sen φ) #B.3#.

Ou em coordenadas polares:

z = (r, φ) #B.4#.

Do estudo de séries infinitas, pode ser visto que a igualdade trigonométrica equivale a uma forma exponencial do número complexo:

z = r ejφ #B.5#.

A tabela seguinte dá o resumo das formas mencionadas e relações para conversão.

Tabela 01

Normal	Trigonométrica	Polar	Exponencial
a + jb	r (cos φ + j sen φ)	(r, φ)	r ejφ
a = r cos φ b = r sen φ	r2 = a2 + b2 φ = arc tan b/a	Ver anterior	Ver anterior

O comprimento r é denominado módulo ou valor absoluto do número complexo. Pode ser representado pelo símbolo do número entre barras verticais:

Se z = a + j b, o seu módulo é |z| = √ (a2 + b2) #D.1#.

Para analisar algumas propriedades e operações, consideram-se os números complexos genéricos:

z = a + jb = r (cos φ + j sen φ) = (r, φ) = r ejφ

z1 = a1 + jb1 = r1 (cos φ1 + j sen φ1) = (r1, φ1) = r1 ejφ1.

z2 = a2 + jb2 = r2 (cos φ2 + j sen φ2) = (r2, φ2) = r2 ejφ2.

Igualdade:

• Se z1 = z2, então a1 = a2 e b1 = b2 #E.1#. Para outras formas, r1 = r2 e φ1 = φ2 #E.2#.

Adição e subtração (a forma normal é mais simples):

• z1 + z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2) #F.1#.

• z1 − z2 = (a1 − a2) + j(b1 − b2) #F.2#.

Multiplicação e divisão (as formas exponencial ou polar são mais adequadas):

• z1 z2 = r1 r2 ej(φ1 + φ2) #G.1#.

• z1/z2 = (r1/r2) ej(φ1 − φ2) #G.2#.

Potenciação (a forma exponencial é também melhor):

• zn = rn ejnφ #H.1#.

• 1/z = (1/r) e−jφ #H.2# (inversão: caso particular com n = −1).


O conjugado complexo de um número complexo é obtido pela troca de sinal da parte imaginária. Símbolos usuais são uma barra superior ou asterisco (*). Assim,

• Se z = a + j b, o conjugado é z* = z = a − j b #I.1#.

• Na forma exponencial, se z = r ejφ, o conjugado é z* = r e−jφ #I.2#.

Exemplos numéricos: (4 − j 5)* = 4 + j 5. Se o número é real, o conjugado é o próprio: 6* = 6.

Graficamente o conjugado pode ser visto como um espelho em relação ao eixo x.

Algumas propriedades do conjugado complexo:

(u + z)* = u* + z* #J.1#
(u z)* = u* z* #J.2#
(u / z)* = u* / z* para z ≠ 0 #J.3#
z* = z se e somente se z é real #J.4#
|z*| = |z| #J.5#
|z|² = z z* #J.6#
1/z = z* / |z|² para z ≠ 0 #J.7#

Considerando as relações já vistas, r² = a² + b² e tan φ = b/a, pode-se deduzir:

z = √(a2+b2) e j arctan (b/a) #K.1#.

Voltando à Figura 01 deste tópico, pode-se também considerar que um número complexo é representado por um vetor de origem em 0 e coordenadas a e b. Esse conceito é usado, por exemplo, na análise de circuitos elétricos de correntes alternadas (fasores).


Calculando números complexos: a página Calculadora complexa contém formulário para operações aritméticas elementares.


Curiosidade: da igualdade r (cos φ + j sen φ) = r ejφ, se eliminado r, tem-se (cos φ + j sen φ) = ej φ. Para φ = π, cos φ = −1 e também sen φ = 0. Substituindo,

ejπ + 1 = 0 #L.1#. É uma interessante igualdade, que relaciona os números fundamentais 0, 1, e, j, π.



Funções complexas

De forma similar às funções de números reais, pode-se definir uma função complexa f(s), onde s é uma variável complexa ou s = a + j b.

Uma função real f(x) pode ser diretamente representada por uma curva num sistema de coordenadas xy.

Figura 02

Entretanto, uma função complexa f(s) não tem a mesma facilidade de representação porque os eixos são usados para indicar as partes real (Re) e imaginária (Im).

Pode-se supor então, conforme (a) da Figura 02, um conjunto de eixos Re Im para a variável s e outro conjunto para f(s) como em (b) da mesma figura.

Assim, a função define um mapeamento de cada valor s em (a) para o respectivo valor f(s) em (b).

Exemplo 01: seja f(s) = s2. Desde que s = a + jb, deduz-se facilmente que

f(s) = a2 − b2 + j2ab. Portanto,

Re[f(s)] = a2 − b2
Im[f(s)] = 2ab


Exemplo 02: seja f(s) = 1 / (s + 1). Considerando s = a + jb, o desenvolvimento aritmético (aqui não exibido) permite chegar ao resultado:

f(s) =	a + 1	+ j	−b
	(a + 1)2 + b2		(a + 1)2 + b2

Exemplo 03: seja f(s) = es. Desde que s = a + jb,

f(s) = es = ea + jb = ea ejb.

De #B.5# e #B.3#, z = r ejφ = r (cos φ + j sen φ). Portanto, ejφ = cos φ + j sen φ.

E o resultado é f(s) = ea cos b + j ea sen b.


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Referências: BOUCHÉ, Ch; LEITNER, A; SASS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979. GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.

Planetmath. http://planetmath.org/. SIMMONS, H. A. College Algebra. New York: Macmillan. VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.