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Médias
| Topo pág | Fim pág |Sejam n números
N1, N2 ... Nn e n coeficientes k1, k2 ... kn.| Média aritmética | = | N1 + N2 + ... + Nn | #A.1# |
| n |
| Média cúbica | = [ | N13 + N23 + ... + Nn3 | ]1/3 | #A.2# |
| n |
| Média geométrica | = (N1 N2 ... Nn)1/n | #A.3# |
| Média harmônica | = | 1 | #A.4# |
| ( 1/N1 + 1/N2 + ... + 1/Nn ) / n |
| Média ponderada | = | k1N1 + k2N2 + ... + knNn | #A.5# |
| k1 + k2 + ... + kn |
| Média quadrática | = [ | N12 + N22 + ... + Nn2 | ]1/2 | #A.6# |
| n |
Para funções, o valor médio de uma função genérica y = f(x) no intervalo x = a até x = b é dado por:
| ymed | = | 1 | ∫a...b y dx | #B.1# |
| b − a |
De forma similar, o valor médio do quadrado de y é dado por:
| y2med | = | 1 | ∫a...b y2 dx | #B.2# |
| b − a |
O valor médio quadrático (root mean square, rms) é a raiz quadrada do valor acima:
yrms = √(y2med) #B.3#.Múltiplos e divisores
| Topo pág | Fim pág |Sejam
a, m, x números inteiros. Os seguintes conceitos são aplicáveis:• Se
m = a x #A.1#, diz-se que m é um múltiplo de x.• Conseqüentemente, x é um divisor de m porque
m / x = a #A.2#.Sejam agora os inteiros
a, b, m, x, y.• Se
m = a x #B.1# e m = b y #B.2#, então m é um múltiplo comum de x e y.• Um par de números tem naturalmente uma infinidade de múltiplos comuns. O menor (não nulo) deles é denominado mínimo múltiplo comum (mmc).
Desde que todo número inteiro é igual ao produto de primos (ver próximos tópicos), o mmc pode ser obtido através da determinação desses fatores primos. Exemplo:
12 = 2 . 2 . 3 = 22 3.15 = 3 . 5. Então mmc(12, 15) = 22 . 3 . 5 = 60 (multiplicam-se os fatores primos comuns - cada um com o maior expoente - e não comuns).As seguintes propriedades do mmc podem ser facilmente deduzidas:
• Se x é múltiplo de y, então
mmc(x, y) = x #C.1#.• Se x e y são primos entre si (não têm divisores comuns além da unidade), então
mmc(x, y) = x y #C.2#.Sejam os inteiros
a, b, d, x, y.Se
d = x / a #D.1# e d = y / b #D.2#, então d é um divisor comum de x e y. O maior valor de d é denominado máximo divisor comum (mdc) de x e y.De forma análoga ao mmc, o mdc pode ser obtido pela decomposição dos números em fatores primos. O mdc é dado pelo produto dos fatores comuns. Exemplo:
72 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 23 32.90 = 2 . 3 . 3 . 5 = 2 32 5. Então, mdc(72, 90) = 2 32 = 18.A seguir, algumas propriedades do mdc:
• Se x é divisor de y, então
mdc(x, y) = x #E.1#.• O mdc está relacionado com o mmc na forma:
mdc(x, y) . mmc(x, y) = x . y #E.2#.Números: alguns tipos
| Topo pág | Fim pág |Números perfeitos
Número perfeito é todo aquele igual à soma dos seus divisores, exceto o próprio. Exemplo:
28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1.Os quatro primeiros perfeitos:
6, 28, 496, 8128, 33550336. São bastante raros. O décimo perfeito tem mais de 50 dígitos. Todos terminam em 6 ou 8.Números de Lucas
Pertencem à seqüência formada pela adição de dois números anteriores conforme:
1 + 3 = 4 3 + 4 = 7 4 + 7 = 11
Os primeiros dez são
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123.Se tomados aos pares e dividido o maior pelo menor, tem-se por exemplo
47/29 = 1,6206..., 123/76 = 1,6184... O resultado será cada vez mais próximo de 1,6180339887.
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| Figura 01 |
São formados pela adição de dois anteriores conforme a seqüência:
1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 5 = 8 5 + 8 = 13 13 + 21 = 34
Os primeiros dez são:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Quadrados de lados iguais aos números da seqüência podem ser agrupados conforme Figura 01.Números triangulares
O nome é devido à formação indicada na Figura 02. São aqueles formados pela adição de números consecutivos conforme:
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| Figura 02 |
1 1 + 2 = 3 1 + 2 + 3 = 6 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Os dez primeiros são:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55.
Observar que o resultado do problema de cumprimentos no item Análise Combinatória da página Matemática: Tópicos diversos é sempre um número triangular para qualquer número de pessoas.
Outra propriedade: o n-ésimo triangular é dado por
(1 + n) n / 2. Exemplo: (1 + 100) 100 / 2 = 5050.Números primos
São provavelmente os mais estudados devido às suas propriedades e aplicações atuais como em códigos de criptografia.
A definição é bem conhecida: é todo número inteiro maior que 1 que só é divisível por si mesmo e por 1. Os dez primeiros primos são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.Algumas propriedades:
Teorema fundamental da aritmética: todo inteiro não primo maior que um pode ser dado pelo produto de uma quantidade finita de números primos (é possível demonstrar).
Os números primos são infinitos: ficam mais raros à medida que aumentam e isso pode sugerir um limite superior. Mas se prova que são infinitos.
Todo número par maior que 2 é igual à soma de 2 primos: este é o enunciado de Goldbach (de 1742 e ainda não resolvido).
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Crivo de Eratóstenes É um algoritmo para localizar todos os números primos até um determinado inteiro N. Aqui não é dada a forma original, mas sim um trecho de código em linguagem C para a finalidade. Ver ao lado. A variável flags[n] terá valor 1 quando n for primo. |
#define SIZE xxxx /*(xxxx até onde se deseja ir)*/
char flags[SIZE+1];
void sieve(void){
int i, k;
for( i=0; i<=SIZE; i++ )
flags[i] = 1;
for( i=2; i<=SIZE; i++ ){
if( flags[i] )
for( k=i+i; k<=SIZE; k+=i )
flags[k] = 0;
}
}
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Referências: BOUCHÉ, Ch; LEITNER, A; SASS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979. GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus. |
MICROSOFT CORPORATION. C Language Guide. 1991. Planetmath. http://planetmath.org/. SIMMONS, H. A. College Algebra. New York: Macmillan. VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971. |