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Cálculo integral
| Topo pág | Fim pág |A integração pode ser considerada a operação inversa da derivação. Seja uma função f(x). A integral indefinida dessa função é uma função simbolizada por:
∫ f(x) dx #A.1#. E a sua derivada é igual a f(x).Portanto, se
y = ∫ f(x) dx, ocorre dy/dx = f(x) ou dy = f(x) dx #B.1#.Desde que a derivada de uma constante é nula, a função y acima acrescida de qualquer constante satisfaz à definição de integral. Assim, é usual indicar as funções de integrais na forma genérica:
∫ f(x) dx = g(x) + C #C.1#. Onde C é uma constante qualquer.
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| Figura 01 |
Neste site, a notação clássica indicada na figura é ligeiramente alterada com uso dos valores apenas na parte inferior por facilidade de edição. Assim,
∫a...b f(x) dx = g(b) − g(a) #C.2#.Notar que, no cálculo da integral definida, a constante C é eliminada pela subtração.
Algumas propriedades da integral
∫ a f(x) dx = a ∫ f(x) dx #D.1# ∫ [ f1(x) + f2(x) + ... ] dx = ∫ f1(x) dx + ∫ f2(x) dx + ... #D.2# ∫ u dx = u x − ∫ x du #D.3#
A relação
#D.3# é conhecida como integração por partes. Ela decorre da propriedade das diferenciais d(ux) = u dx + x du. Exemplo de aplicação:Seja
u = ln x. Das tabelas de diferenciais, du = (1/x) dx. Assim, ∫ x du = ∫ x (1/x) dx = ∫ dx = x + C. Portanto,∫ ln x dx = x ln x − x + C #D.4#.Algumas integrais importantes
∫ xn dx = [ xn+1 / (n+1) ] + C para n ≠ −1 #E.1# ∫ (1/x) dx = ln x + C #E.2# ∫ ax dx = (ax/ln a) + C #E.3# ∫ eax dx = (1/a)eax + C #E.4# ∫ sen x dx = − cos x + C #E.5# ∫ cos x dx = sen x + C #E.6# ∫ tan x dx = − ln | cos x | + C #E.7# ∫ cot x dx = ln | sen x | + C #E.8#
Convolução
| Topo pág | Fim pág |Sejam duas funções g(x) e h(x). A convolução ou produto de convolução dessas funções é definida por:
(g * h)(x) = ∫−∞...+∞ g(u) h(x − u) du #A.1#.Para variáveis discretas, pode ser escrita como:
(g * h)(x) = ∑k=−∞...+∞ g(k) h(x − k) #B.1#.Algumas propriedades:
g * h = h * g #C.1# a (g * h) = (ag) * h = g * (ah) #C.2# f * (g * h) = (f * g) * h #C.3# f * (g + h) = (f * g) + (f * h) #C.4#
O conceito é de especial importância em estudos de sinais periódicos ou não, processamento digital de imagens e em várias outras aplicações.
Funções circulares
| Topo pág | Fim pág |Seja, conforme Figura 01, uma circunferência de raio r e um ângulo central α contado do eixo horizontal em sentido anti-horário. As funções circulares básicas, também denominadas funções trigonométricas, são a seguir definidas.
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| Figura 01 |
sen α = y / r #A.1#.Co-seno:
cos α = x / r #B.1#.Tangente:
tan α = y / x #C.1#.Co-tangente:
cot α = x / y #D.1#.Do teorema de Pitágoras,
y2 + x2 = r2 ou (y/r)2 + (x/r)2 = 1. Assim,sen2α + cos2 α = 1 #E.1#.
Outras relações básicas:
tan α cot α = 1 #F.1# 1 + tan2α = 1 / cos2α #F.2# 1 + cot2α = 1 / sen2α #F.3#
Outras igualdades para essas funções podem ser vistas na página Relações trigonométricas deste site.
Funções hiperbólicas
| Topo pág | Fim pág |A Figura 01 mostra curvas aproximadas para as funções a seguir definidas.
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| Figura 01 |
senh x = (ex − e−x) / 2 #A.1#.Co-seno hiperbólico:
cosh x = (ex + e−x) / 2 #B.1#.Tangente hiperbólica:
tanh x = senh x / cosh x #D.1#.Co-tangente hiperbólica:
coth x = cosh x / senh x #E.1#.
Algumas propriedades:
cosh2 x − senh2 x = 1 #F.1# tanh x . coth x = 1 #F.2# senh x = −j sen (jx) #F.3# cosh x = cos (jx) #F.4# sen x = −j senh (jx) #F.5# cos x = cosh (jx) #F.6#
Obs: nas relações acima, j é a unidade imaginária (√−1).
Logaritmos
| Topo pág | Fim pág |A expressão
m = loga b #A.1# indica que o número m é o logaritmo do número b na base a. Isso significa que b = am, ou seja, é o inverso da exponencial. Na prática, as bases usadas são principalmente duas:Decimal (a = 10): escreve-se simplesmente
m = log b #B.1#.Natural (a = e ≈ 2,7182818): indicado por
m = ln b #B.2#.Como conseqüência da definição, ocorrem as igualdades seguintes:
loga 1 = 0 #C.1# loga 0 = −∞ #C.2# loga ∞ = ∞ #C.3# loga a = 1 #C.4# log 10 = 1 #C.5# ln e = 1 #C.6#
Para o cálculo de expressões logarítmicas, as seguintes propriedades são válidas:
loga (x y) = loga x + loga y #D.1# loga (x/y) = loga x − loga y #D.2# loga (xn) = n loga x #D.3# loga (x1/n) = (1/n) loga x #D.4# log 10n = n #D.5#
O logaritmo do inverso de um número é algumas vezes denominado co-logaritmo. Assim,
colog x = log (1/x) #D.A#. Usando as relações #D.2# e #C.1#,colog x = log (1/x) = log 1 − log x = − log x #D.B#.Conversão de bases:
loga N = loga b logb N #E.1#.O fator
loga b é denominado módulo do sistema de logaritmos de base a com relação ao sistema de base b. Para conversão entre logaritmos naturais e decimais, os módulos aproximados são:ln x ≈ 2,3026 log x #E.2# log x ≈ 0,4343 ln x #E.3#
Obs: o número e (base dos logaritmos naturais) é uma das mais importantes constantes matemáticas. Aparece em inúmeros conceitos matemáticos que envolvem limites e derivadas. As igualdades mais comuns são:
e = limn→∞ (1 + 1/n)n #F.1# e = ∑n=0...∞ 1/n! #F.2#
Lugar geométrico (exemplo de): arco capaz
| Topo pág | Fim pág |Seja um segmento de reta AB. Deseja-se saber o lugar geométrico de todos os pontos pelo qual esse segmento é visto sob o mesmo ângulo α.
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| Figura 01 |
É possível demonstrar facilmente que, para qualquer ponto sobre o arco (P, P', ...), o ângulo α é constante e igual à metade do ângulo central 2α.
Dado o segmento AB, o círculo pode ser determinado com uma reta que forma um ângulo α em A. Essa reta é tangente à circunferência em A. Portanto, uma perpendicular define a direção do raio e uma perpendicular passando pelo ponto médio de AB (não exibida na figura) permite determinar o centro O.
Para pontos na circunferência e abaixo de AB, o ângulo é 180 − α. Notar que, se o segmento AB for um diâmetro da circunferência, α é um ângulo reto.
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Referências: BOUCHÉ, Ch; LEITNER, A; SASS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979. GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus. |
Planetmath. http://planetmath.org/. SIMMONS, H. A. College Algebra. New York: Macmillan. VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971. |