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Esta página e as próximas da série contêm tópicos resumidos de assuntos diversos da matemática. Oportunamente outros deverão ser adicionados ou tópicos existentes poderão ser ampliados. Por motivo de facilidade de edição, algumas notações são um pouco diferentes das tradicionais devido ao uso de caracteres e não figuras para representá-las.
Alfabeto grego
| Topo pág | Fim pág || Maiúsc | Minúsc | Equiv | Nome | Maiúsc | Minúsc | Equiv | Nome | Maiúsc | Minúsc | Equiv | Nome |
| Α | α | a | Alfa | Ι | ι | i | Iota | Ρ | ρ |
r | Ro |
| Β | β | b | Beta | Κ | κ | k | Kapa | Σ | σ | s | Sigma |
| Γ | γ | g | Gama | Λ | λ | l | Lambda | Τ | τ | t | Tau |
| Δ | δ | d | Delta | Μ | μ | m | Mu | Υ | υ | y | Ypsilon |
| Ε | ε | e | Epsilon | Ν | ν | n | Nu | Φ | φ | ph | Fi |
| Ζ | ζ | z | Zeta | Ξ | ξ | x | Csi | Χ | χ | ch | Qui |
| Η | η | e | Eta | Ο | ο | o | Omikron | Ψ | ψ | ps | Psi |
| Θ | θ | th | Teta | Π | π | p | Pi | Ω | ω | o | Omega |
Análise combinatória
| Topo pág | Fim pág |01) Fatorial de um número inteiro k é dado por:
k! = k (k−1) (k−2) ... 3 . 2 . 1 #A.1#Observações: deve-se ter
k ≥ 1 e é suposto 0! = 1. Exemplo: 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24.02) Coeficiente binomial é dado por (lê-se n sobre k):
| C(n, k) = | n (n−1) (n−2) .... (n−k+1) | = | n! | #B.1# |
| k! | k! (n − k)! |
Obs: esta é a notação mais comum:
. Alternativas são: C(n, k) (aqui adotada), nCk ou Ckn.03) Permutações: seja um conjunto de n elementos diferentes. O número de ordenamentos possíveis, isto é, de permutações desses elementos é dado por
Pn = n! #C.1#.Exemplo: o conjunto abc tem 3! = 3 . 2 . 1 = 6 permutações possíveis (abc, acb, bca, bac, cab, cba).
Se, entre os n elementos, existem um ou mais grupos de dois ou mais elementos iguais (p, q, r ...), o número de permutações possíveis é dado por
| Pn (p, q, r, ...) = | n! | #C.2# | |
| p! q! r! ... |
Exemplo: o conjunto aabbb tem 5! / (2! 3!) permutações possíveis.
04) Arranjos de n elementos tomados k a k são o número dos possíveis agrupamentos de k elementos desse conjunto de n elementos (k > 0 e k ≤ n), nos quais a ordem dos elementos em cada agrupamento é considerada. São calculados conforme fórmulas abaixo (arranjo com repetição significa que o mesmo elemento pode aparecer mais de uma vez no agrupamento).
| Sem repetição | An, k = C(n, k) k! = | n! | #D.1# Com repetição | An, k repetido = nk | #D.2# | |
| (n − k)! |
Exemplo: seja o conjunto abcd. O número de arranjos desses 4 elementos tomados 2 a 2 é (4 | 2) 2! = 12 (ab ac ad bc bd cd ba ca da cb db dc) e, se for com repetição, 42 = 12 (seriam mais 4 agrupamentos: aa bb cc dd). Notar que, para o arranjo, a ordem é considerada. Por exemplo, ab é distinto de ba.
05) Combinações são definidas de forma similar à dos arranjos, mas sem considerar a ordem dos elementos. Exemplo ab e ba não são combinações distintas. São calculadas segundo fórmulas abaixo.
| Sem repetição | Cn, k = C(n, k) = | n! | #E.1# Com repetição | Cn, k repetido = C(n+k−1, k) | #E.2# | |
| k! (n − k)! |
Exemplo: no caso anterior há C4, 2 = C(4, 2) = 6 combinações (ab ac ad bc bd cd) e, se for com repetição, C(4+2−1, 2) = 10 (seriam mais 4 agrupamentos: aa bb cc dd).
Exemplo: Todos os executivos de um grupo de 9 (nove) cumprimentam-se antes de começar uma reunião. Quantos cumprimentos ocorrem, considerando que cada par de executivos se cumprimenta apenas uma vez?
A solução é claramente C(9, 2). Mas pode ser deduzida por outra forma: supõe-se que os executivos se coloquem em fila e que sejam numerados de 1 a 9. O número 1 cumprimenta os 8 restantes e pode sentar pois já fez com todos. Então, há 8 cumprimentos e restam 8 na fila. O número 2 não cumprimenta o número 1, que está sentado, pois já foi cumprimentado por ele. Assim, ele cumprimenta os 7 restantes e senta. Portanto, mais 7 cumprimentos e restam 7 na fila. Pode-se deduzir que o resultado é a soma
8 + 7 + ... + 2 + 1 = 36.Aproximações
| Topo pág | Fim pág |Se o caso permitir, para uma variável x << 1 (muito menor que 1), valem as aproximações:
(1 + x)n ≈ 1 + nx #A.1# ex ≈ 1 + x #B.1# ln(1 + x) ≈ x #C.1# sen x ≈ x #D.1# cos x ≈ 1 #E.1# tan x ≈ x #F.1#
Cálculo diferencial, derivadas
| Topo pág | Fim pág |Seja uma função genérica y = f(x). A função derivada, y' ou f'(x), é dada por:
| y' = f'(x) = lim(Δx → 0) | f(x + Δx) − f(x) | #A.1# | |
| Δx |
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| Figura 01 |
Portanto, a derivada corresponde à tangente trigonométrica do ângulo α, que a tangente geométrica faz com a horizontal.
No conceito prático, a diferencial é vista como uma variação infinitesimal de uma grandeza. É simbolizada pela letra latina d (no lugar de Δ, usado para variações normais). Exemplo: dx.
Considerando os conceitos anteriores, para uma função qualquer y = f(x), a variação infinitesimal deve ser igual ao produto da derivada pela variação infinitesimal de x:
dy = df(x) = y' dx = f'(x) dx #B.1#. Reagrupando,| y' = f'(x) = | dy | = | df(x) | #B.2# |
| dx | dx |
A forma acima é notação comum para derivada, dada em termo de quociente de diferenciais. Neste site, é bastante usada a barra de fração (exemplo:
dy/dx) por facilidade de edição.Derivadas de ordens superiores
A derivada f'(x) é também uma função de x e, portanto, derivações sucessivas podem ocorrer. Notação a seguir.
| y'' = f''(x) = | d2y | = | d2f(x) | #C.1#: derivada de segunda ordem. |
| dx2 | dx2 |
| y(n) = f(n)(x) = | dny | = | dnf(x) | #C.2#: derivada genérica de ordem n. |
| dxn | dxn |
Neste site pode ser usado, por exemplo,
d2x/dx2 em razão da simplicidade de edição.Em física, para funções dependentes do tempo, é usual indicar a primeira e a segunda derivada com, respectivamente, um e dois pontos acima do caractere. Exemplo: se y(t) é a distância percorrida em função do tempo,
y·= dy/dt (velocidade) e y¨= d2y/dt2 (aceleração).Algumas propriedades das diferenciais (a e b são constantes)
da = 0 #D.1# d[ a f(x) ] = a df(x) #D.2# d( ax + b ) = a dx #D.3# d[ f1(x) + f2(x) + ...] = df1(x) + df2(x) + ... #D.4# d(xy) = x dy + y dx #D.5# d(xn) = n x(n−1) dx #D.6#
Algumas diferenciais importantes (a é constante)
d( a ) = 0 dx #E.1# d( ax + b ) = a dx #E.2# d( ax ) = ax ln a dx #E.3# d( a xn ) = a n xn−1 dx #E.4# d( eax ) = a eax dx #E.5# d( ax ) = ax ln a dx #E.6# d( ln x ) = (1/x) dx com x>0 #E.7# d( logax ) = [ 1 / (x ln a) ] dx #E.8# d( sen ax ) = a cos ax dx #E.9# d( cos ax ) = − a sen ax dx #E.10# d( tan x ) = [ 1 / cos2 x ] dx #E.11# d( cot x ) = [ −1 / sen2 x ] dx #E.12# d( sen−1 x ) = [ 1 / √(1 − x2) ] dx #E.13# d( cos−1 x ) = [ −1 / √(1 − x2) ] dx #E.14# d( tan−1 x ) = [ 1 / (1 + x2) ] dx #E.15#
Obs: a formulação da derivada a partir da relação acima é feita pelo simples rearranjo do termo dx. Exemplo para a fórmula dada em #E.6#:
d(eax) / dx = a eax.Derivadas parciais
Para função com mais de uma variável, a derivada parcial em relação a uma determinada variável é calculada segundo os conceitos anteriores, considerando as demais variáveis constantes. Na notação, substitui-se o caractere d por ∂.
Exemplo: para uma função de duas variáveis
z = f(x, y), pode-se ter ∂z / ∂x e também ∂z / ∂y. Derivadas parciais de ordens superiores são escritas conforme exemplos a seguir.∂(∂z/∂x) / ∂x = ∂2z / ∂x2 ∂(∂z/∂y) / ∂y = ∂2z / ∂y2 ∂(∂z/∂y) / ∂x = ∂2z / (∂x ∂y) ∂(∂z/∂x) / ∂y = ∂2z / (∂y ∂x)
Exemplo: seja a função
z = x2 + xy + y2. Derivadas até segunda ordem são,∂z / ∂x = 2x + y ∂z / ∂y = x + 2y ∂2z / ∂x2 = 2 ∂2z / ∂y2 = 2 ∂2z / (∂x ∂y) = 1 ∂2z / (∂y ∂x) = 1
Série de Taylor (exemplo de aplicação de derivadas)
Usada, em alguns casos, para computar valores de funções com o grau de precisão que se desejar. De forma resumida e sem considerações mais profundas, pode-se dizer que, em geral, uma função contínua e infinitamente diferenciável f(x) equivale à série infinita:
| f(x) = f(a) + | f'(a) (x − a) | + | f''(a) (x − a)2 | + ... | #F.1#. Onde a é um ponto qualquer da função. |
| 1! | 2! |
Exemplo: seja
f(x) = ex, portanto f'(x) = ex conforme já visto. Se tomado o ponto a = 0, ocorre f(a) = f'(a) = f''(a) = ... = 1. E a série para essa função éf(x) = ex = 1 + (x / 1!) + (x2 / 2!) + (x3 / 3!) + ...Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Mar/2008
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Referências: BOUCHÉ, Ch; LEITNER, A; SASS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979. GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus. |
Planetmath. http://planetmath.org/. SIMMONS, H. A. College Algebra. New York: Macmillan. VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971. |