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Pagamentos ou recebimentos múltiplos (valor no horizonte)
| Topo pág | Fim pág |Conforme visto em página anterior, o valor no horizonte (ou montante) M de um capital C após n períodos com taxa i por período é dado por:
M = C (1 + i)n = C / νin #A.1#. Onde νi = (1 + i)−1 #A.2# é o fator de desconto.O problema agora é saber o valor acumulado M de uma série de pagamentos P, com taxa por período i (Figura 01). De forma similar ao método já visto para pagamentos ou recebimentos múltiplos, M é a soma dos valores no horizonte de cada pagamento individual j (1≤ j ≤n). Para um pagamento j, o capital C é a prestação P e o número de períodos n é n − j. Assim,
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| Figura 01 |
M = ∑ Mj = P ∑j=1,n (1 + i)n−j. A expressão que segue P é a soma dos termos de uma progressão geométrica de n termos, com o primeiro termo (1 +i)n−1 e quociente (1 + i)−1.Segundo a fórmula da soma de uma progressão geométrica,
M = P (1 + i)n−1 [1 − (1 + i)−n] / [1 − (1 + i)−1].
| M = P | (1 + i)n − 1 | = | P sn|i | #B.1#. |
| i |
Onde
sn|i = [ (1 + i)n − 1 ] / i #B.2# é o fator de acumulação de capital.
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| Figura 02 |
M = P (1 + i) sn|i #C.1#.
Comparando #C.1# com #B.1#, observa-se que o montante de pagamentos antecipados é igual ao anterior multiplicado por (1 + i). Isso pode ser visto graficamente: o fluxo da Figura 02 equivale ao da Figura 01 com M deslocado de um período.
Relacionando agora #B.2# com #B.2# da página anterior (valor atual) para os mesmos valores de P, n e i, obtém-se M = C (1 + i)n, resultado pode ser esperado, uma vez que o montante é igual ao capital acrescido dos juros de n períodos.
| n | 1% | 2% | 3% | 4% | 5% | 6% | 7% | 8% | 9% | 10% | 12% | 15% | 18% |
| 1 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 |
| 2 | 2,010 | 2,020 | 2,030 | 2,040 | 2,050 | 2,060 | 2,070 | 2,080 | 2,090 | 2,100 | 2,120 | 2,150 | 2,180 |
| 3 | 3,030 | 3,060 | 3,091 | 3,122 | 3,153 | 3,184 | 3,215 | 3,246 | 3,278 | 3,310 | 3,374 | 3,473 | 3,572 |
| 4 | 4,060 | 4,122 | 4,184 | 4,246 | 4,310 | 4,375 | 4,440 | 4,506 | 4,573 | 4,641 | 4,779 | 4,993 | 5,215 |
| 5 | 5,101 | 5,204 | 5,309 | 5,416 | 5,526 | 5,637 | 5,751 | 5,867 | 5,985 | 6,105 | 6,353 | 6,742 | 7,154 |
| 6 | 6,152 | 6,308 | 6,468 | 6,633 | 6,802 | 6,975 | 7,153 | 7,336 | 7,523 | 7,716 | 8,115 | 8,754 | 9,442 |
| 7 | 7,214 | 7,434 | 7,662 | 7,898 | 8,142 | 8,394 | 8,654 | 8,923 | 9,200 | 9,487 | 10,089 | 11,067 | 12,142 |
| 8 | 8,286 | 8,583 | 8,892 | 9,214 | 9,549 | 9,897 | 10,260 | 10,637 | 11,028 | 11,436 | 12,300 | 13,727 | 15,327 |
| 9 | 9,369 | 9,755 | 10,159 | 10,583 | 11,027 | 11,491 | 11,978 | 12,488 | 13,021 | 13,579 | 14,776 | 16,786 | 19,086 |
| 10 | 10,462 | 10,950 | 11,464 | 12,006 | 12,578 | 13,181 | 13,816 | 14,487 | 15,193 | 15,937 | 17,549 | 20,304 | 23,521 |
| 11 | 11,567 | 12,169 | 12,808 | 13,486 | 14,207 | 14,972 | 15,784 | 16,645 | 17,560 | 18,531 | 20,655 | 24,349 | 28,755 |
| 12 | 12,683 | 13,412 | 14,192 | 15,026 | 15,917 | 16,870 | 17,888 | 18,977 | 20,141 | 21,384 | 24,133 | 29,002 | 34,931 |
| 13 | 13,809 | 14,680 | 15,618 | 16,627 | 17,713 | 18,882 | 20,141 | 21,495 | 22,953 | 24,523 | 28,029 | 34,352 | 42,219 |
| 14 | 14,947 | 15,974 | 17,086 | 18,292 | 19,599 | 21,013 | 22,550 | 24,215 | 26,019 | 27,975 | 32,393 | 40,505 | 50,818 |
| 15 | 16,097 | 17,293 | 18,599 | 20,024 | 21,579 | 23,276 | 25,129 | 27,152 | 29,361 | 31,772 | 37,280 | 47,580 | 60,965 |
| 16 | 17,258 | 18,639 | 20,157 | 21,825 | 23,657 | 25,673 | 27,888 | 30,324 | 33,003 | 35,950 | 42,753 | 55,717 | 72,939 |
| 17 | 18,430 | 20,012 | 21,762 | 23,698 | 25,840 | 28,213 | 30,840 | 33,750 | 36,974 | 40,545 | 48,884 | 65,075 | 87,068 |
| 18 | 19,615 | 21,412 | 23,414 | 25,645 | 28,132 | 30,906 | 33,999 | 37,450 | 41,301 | 45,599 | 55,750 | 75,836 | 103,740 |
A tabela acima dá os resultados de
[ (1 + i)n − 1 ] / i, onde i = p/100, para alguns valores de n e p.Exemplo: durante 3 meses e no fim de cada mês, a quantia de R$ 100,00 é aplicada num investimento que retorna 2% ao mês. Qual será o valor do investimento no final do 3º mês?
Solução: desde que as movimentações ocorrem no final de cada período, deve ser usada a fórmula #B.1#. Os dados são:
P = 100,00; n = 3; i = 2/100 = 0,02. Assim, M = 100 ( 1,023 − 1) / 0,02 ≈ 306,04.
Da tabela anterior, o fator para n = 3 e p = 2% é 3,060. Portanto, M = 100 3,060 = 306,00 (a diferença dos centavos é devida a arredondamentos).
Exemplo (fonte: prova IRB 2004): Um capital é aplicado com capitalização dos juros durante três períodos a uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos como porcentagem do capital aplicado.
a) 30% b) 31,3% c) 32,2% d) 33,1% e) 34%
Solução: segundo #A.1#, M = C (1 + i)n. Neste caso, n = 3 e i = 10/100 = 0,1. Da Tabela de juros compostos, (1 + 0,1)3 = 1,331. Portanto, M = C 1,331. A parcela de juros é a diferença M − C = 1,331 C - C = 0,331 C ou 33,1% de C. Resposta d.
Exemplo (fonte: prova IRB 2004): Uma série de doze valores monetários relativos ao fim de cada um de doze períodos de tempo representa o fluxo de caixa esperado de uma alternativa de investimento. Considerando que o valor atual desse fluxo de caixa no início do primeiro período é de R$ 30.000,00, calcule o valor futuro desse fluxo ao fim do décimo segundo período, considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao período (Despreze os centavos).
a) R$ 94.152,00 b) R$ 85.593,00 c) R$ 77.812,00 d) R$ 70.738,00 e) R$ 66.000,00
Solução: o valor atual no início do primeiro período é C = 30.000,00. No final do período n o montante, segundo #A.1#, é M = C (1 + i)n. Neste caso, n = 12 e i = 10/100 = 0,1. Da Tabela de juros compostos, (1 + 0,1)12 = 3,138. Calculando, M = 30.000,00 3,138 = R$ 94.140,00. Resposta a (a diferença é devida a aproximações. A tabela mencionada usa 3 casas decimais. Com 6 decimais, o valor é 3,138428, que, multiplicado por 30000, resulta em 94.152,84).
Descontos
| Topo pág | Fim pág |Descontos são negociações antecipadas de títulos, com a dedução dos juros decorrentes da antecipação.
Sejam os parâmetros abaixo.
A: valor atual (valor do título descontado).
D: desconto aplicado.
i: taxa de juros por período.
n: número de períodos do desconto.
N: valor nominal (valor do título sem desconto).
A relação básica é
A = N − D #A.1#.Quanto à aplicação de juros, o desconto pode ser simples ou composto. Quanto à referência de cálculo, pode ser:
• Comercial (por fora): o desconto é calculado em relação ao valor nominal.
• Racional (por dentro): o desconto é calculado em relação ao valor atual.
Desconto simples por fora (comercial)
D = n i N #B.1#.Calculando o valor atual, A = N − D = N − n i N. Portanto,
A = N (1 − n i) #B.2#.Desconto simples por dentro (racional)
D = n i A #C.1#.A = N − D = N − n i A. Resolvendo,
A = N / (1 + n i) #C.2#.Desconto composto por fora
Equivale à aplicação sucessiva de descontos simples por fora em cada período. Usando #B.2# para o primeiro (n = 1),
A1 = N (1 − i). Para o segundo, A2 = A1 (1 − i) = N (1 − i)2. Generalizando,
A = N (1 − i)n #D.1#.Desconto composto por dentro
De forma similar à anterior, equivale à aplicação sucessiva de descontos simples por dentro. O resultado é
A = N / (1 + i)n #E.1#.Exemplo (fonte: CFC 1º sem. 2003, com adaptações): os juros cobrados numa operação de desconto composto por fora foram iguais a R$ 370,00. Sabendo que o valor do título é de R$ 1.800,00 e que faltavam 75 dias para o vencimento deste, determinar a taxa de desconto mensal.
Solução: os juros cobrados são o desconto D. De #A.1# e #D.1#, D = N − A = N − N (1 − i)n. Portanto,
D = N [ 1 − (1 − i)n ]. Os parâmetros são D = 370, N = 1.800 e n = 75/30 = 2,5 meses. Substituindo,370 = 1800 [ 1 − (1 − i)2,5 ]. Resolvendo, i ≈ 0,08794 ou 8,794% ao mês.Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Jan/2008
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