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Pagamentos ou recebimentos múltiplos (valor atual)
| Topo pág | Fim pág |No caso de uma operação de empréstimo com um pagamento e um recebimento (Figura 01) no conceito de juro composto, a relação entre o valor atual (ou capital) C e o valor no horizonte (ou montante) M é dada pela igualdade já vista em página anterior:
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| Figura 01 |
M = C (1 + i)n #A.1#.Onde i é a taxa de juro por período e n é o número de períodos entre o recebimento do empréstimo e o seu pagamento.
Isolando o valor atual na igualdade anterior,
C = M (1 + i)−n #A.2#.
Em algumas referências é usado o conceito de fator de desconto
νi = (1 + i)−1 #A.3#.Portanto, o valor atual C para um montante M relativo a n períodos e taxa i por período é dado por:
C = M νin #A.4#.A Tabela de juros compostos da página anterior dá alguns valores de
(1 + i)n, que equivalem a 1 / νin ou νi−n.Uma situação bastante comum na prática é o financiamento em determinado número de prestações fixas, em intervalos iguais e sob uma taxa de juros por período segundo o critério de juro composto.
Nessa condição (ver Figura 02), o valor atual do fluxo C corresponde ao valor à vista do bem e a soma dos valores atuais de cada prestação P deve corresponder a esse valor à vista.
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| Figura 02 |
Ck = P / [ (1 + i)k ] = P [ 1 / (1 + i) ]k.
Para simplificar, considera-se r = 1 / (1 + i). Assim, Ck = P rk. E o valor atual C deve ser a soma dos valores atuais de cada prestação:
C = ∑k=1,n Ck = ∑k=1,n rk. Essa igualdade é a soma de uma progressão geométrica de valor inicial r e quociente r. Usando a fórmula matemática para essa soma,
C = P r (1 − rn) / (1 − r). Substituindo o valor de r e simplificando, chega-se a
| C = P | (1 + i)n − 1 | = | P an|i | #B.1#. |
| i (1 + i)n |
Onde
an|i = [ (1 + i)n − 1 ] / [ i (1 + i)n ] #B.2# é o fator de valor atual para n prestações e juro i por período.| n | 1% | 2% | 3% | 4% | 5% | 6% | 7% | 8% | 9% | 10% | 12% | 15% | 18% |
| 1 | 0,990 | 0,980 | 0,971 | 0,962 | 0,952 | 0,943 | 0,935 | 0,926 | 0,917 | 0,909 | 0,893 | 0,870 | 0,847 |
| 2 | 1,970 | 1,942 | 1,913 | 1,886 | 1,859 | 1,833 | 1,808 | 1,783 | 1,759 | 1,736 | 1,690 | 1,626 | 1,566 |
| 3 | 2,941 | 2,884 | 2,829 | 2,775 | 2,723 | 2,673 | 2,624 | 2,577 | 2,531 | 2,487 | 2,402 | 2,283 | 2,174 |
| 4 | 3,092 | 3,808 | 3,717 | 3,630 | 3,546 | 3,465 | 3,387 | 3,312 | 3,240 | 3,170 | 3,037 | 2,855 | 2,690 |
| 5 | 4,853 | 4,713 | 4,580 | 4,452 | 4,329 | 4,212 | 4,100 | 3,993 | 3,890 | 3,791 | 3,605 | 3,352 | 3,127 |
| 6 | 5,795 | 5,601 | 5,417 | 5,242 | 5,076 | 4,917 | 4,767 | 4,623 | 4,486 | 4,355 | 4,111 | 3,784 | 3,498 |
| 7 | 6,728 | 6,472 | 6,230 | 6,002 | 5,786 | 5,582 | 5,389 | 5,206 | 5,033 | 4,868 | 4,564 | 4,160 | 3,812 |
| 8 | 7,652 | 7,325 | 7,020 | 6,733 | 6,463 | 6,210 | 5,971 | 5,747 | 5,535 | 5,335 | 4,968 | 4,487 | 4,078 |
| 9 | 8,566 | 8,162 | 7,786 | 7,435 | 7,108 | 6,802 | 6,515 | 6,247 | 5,995 | 5,759 | 5,328 | 4,772 | 4,303 |
| 10 | 9,471 | 8,983 | 8,530 | 8,111 | 7,722 | 7,360 | 7,024 | 6,710 | 6,418 | 6,145 | 5,650 | 5,019 | 4,494 |
| 11 | 10,368 | 9,787 | 9,253 | 8,760 | 8,306 | 7,887 | 7,499 | 7,139 | 6,805 | 6,495 | 5,938 | 5,234 | 4,656 |
| 12 | 11,255 | 10,575 | 9,954 | 9,385 | 8,863 | 8,384 | 7,943 | 7,536 | 7,161 | 6,814 | 6,194 | 5,421 | 4,793 |
| 13 | 12,134 | 11,348 | 10,635 | 9,986 | 9,394 | 8,853 | 8,358 | 7,904 | 7,487 | 7,103 | 6,424 | 5,583 | 4,910 |
| 14 | 13,004 | 12,106 | 11,296 | 10,563 | 9,899 | 9,295 | 8,745 | 8,244 | 7,786 | 7,367 | 6,628 | 5,724 | 5,008 |
| 15 | 13,865 | 12,849 | 11,938 | 11,118 | 10,380 | 9,712 | 9,108 | 8,559 | 8,061 | 7,606 | 6,811 | 5,847 | 5,092 |
| 16 | 14,718 | 13,578 | 12,561 | 11,652 | 10,838 | 10,106 | 9,447 | 8,851 | 8,313 | 7,824 | 6,974 | 5,954 | 5,162 |
| 17 | 15,562 | 14,292 | 13,166 | 12,166 | 11,274 | 10,477 | 9,763 | 9,122 | 8,544 | 8,022 | 7,120 | 6,047 | 5,222 |
| 18 | 16,398 | 14,992 | 13,754 | 12,659 | 11,690 | 10,828 | 10,059 | 9,372 | 8,756 | 8,201 | 7,250 | 6,128 | 5,273 |
A tabela acima indica
an|i = [ (1 + i)n − 1 ] / [ i (1 + i)n ], onde i = p/100, para alguns valores de n e p.Exemplo: uma mercadoria é comprada em três prestações mensais consecutivas de R$ 100,00, com a primeira prestação um mês após a compra e taxa de juro de 2% ao mês. Determinar o valor à vista dessa mercadoria.
Solução: são dados n = 3, P = 100,00 e p = 2%. Assim, i = p/100 = 0,02.
Entrando com esses valores em #B.1#, o resultado é C ≈ 288,61. Usando a tabela anterior, an|i = 2,884 para n = 3 e i = 0,02. Portanto, C = 100 2,884 = 288,40. A diferença dos centavos é devida a arredondamentos.
Exemplo (fonte: prova IRB 2004): Um bônus possui valor nominal de US$ 1,000.00 e contém quatro cupons semestrais de US$ 50.00 cada, sendo que o primeiro cupom vence ao fim de seis meses, e assim sucessivamente, até que, junto com o quarto cupom, o comprador do bônus recebe o valor nominal do bônus de volta, obtendo assim uma remuneração nominal de 5% ao semestre em sua aplicação de capital. Abstraindo custos administrativos e comissões, calcule o deságio necessário sobre o valor nominal do bônus para que a aplicação de compra do bônus produza um ganho real de 6% ao semestre.
a) 3% b) 3,196% c) 3,465% d) 5% e) 6,21%
Valor atual (C1) de 4 recebimentos semestrais de US$ 50 com juros de 6% por semestre: segundo #B.1#,
C1 = 50 a4|0,06. Da tabela anterior, a4|0,06 = 3,465. C1 = 50 3,465 = 173,25.
Valor atual (C2) de 1 recebimento de US$ 1000 após 4 semestres com juros de 6% por semestre: segundo #A.4#,
C2 = 1000 ν0,064 = 1000 / (1 + 0,06)4. Da Tabela de juros compostos, (1 + 0,06)4 = 1,262. Assim, C2 = 1000/1,262 = 792,39.
A soma C1 + C2 = 173,25 + 792,39 = 965,64 é o valor atual do título com juros de 6% por semestre. Portanto, o deságio deve ser (1000 − 965,64) / 1000 = 0,03436 ou 3,436%. Resposta c (a diferença ocorre em função de arredondamentos nas tabelas).
Notar que o dado 5% não é usado porque é apenas a remuneração nominal simples de lançamento do título.
Exemplo (fonte: CFC 1º sem. 2003, com adaptações): uma empresa contratou um financiamento para ser pago em 12 parcelas iguais de R$ 1.990,53, pactuando a taxa nominal dos juros de 40% ao ano, capitalizados mensalmente. Determinar o valor liberado no financiamento, considerando taxa mensal equivalente.
Solução: para juro anual de 40% (i = 0,4 e n = 12), o juro mensal é
i = (1 + 0,4)1/12 − 1 ≈ 0,0284361 (ver Juro composto).A questão deseja o valor atual do empréstimo. Usando #B.1#,
C = P [(1 + i)n − 1] / [i (1 + i)n] = 1.990,53 ( 1,028436112 − 1 ) / ( 0,0284361 1,028436112).C ≈ 1.990,53 x 0,4 / 0,03981054 ≈ R$ 20.000,00.Cálculo de prestações - Tabela price
| Topo pág | Fim pág |A fórmula #B.1# do tópico anterior pode ser reagrupada para fornecer o valor da prestação em função dos demais parâmetros:
P = C [i (1 + i)n] / [(1 + i)n − 1]. Dividindo numerador e denominador por (1 + i)n, ocorre a simplificação:| P = | C i | #A.1# | |
| 1 − (1 + i)−n |
A fórmula acima corresponde à Tabela Price ou método francês de amortização (cabe lembrar que os conceitos de matemática financeira foram desenvolvidos bem antes do surgimento de calculadoras e computadores. O uso de tabelas era disseminado até então porque cálculos com expoentes são trabalhosos se executados manualmente ou com máquinas simples).
| Evidentemente, a expressão | i | corresponde ao inverso do fator de valor atual do tópico anterior. | ||
| 1 − (1 + i)−n |
Exemplo: deseja-se financiar um imóvel de R$ 100.000,00 em 120 prestações mensais iguais, com 10% ao ano de juros pela Tabela Price. Determinar o valor da prestação.
Solução: na praxe financeira, 10% ao ano de juros significa taxa nominal conforme visto em página anterior. Assim, a taxa mensal é dada por p = 10%/12 ≈ 0,8333% ao mês. Portanto, i = 0,8333/100 = 0,008333. Outros dados para a fórmula #A.1# são:
C = 100 000,00 e n = 120. Substituindo os valores,
P = 100.000,00 0,008333 / [ 1 − (1 + 0,008333)−120 ] ≈ 100.000,00 0,013215 ≈ R$ 1.321,50.
Exemplo (fonte: CFC 1º sem. 2003, com adaptações): uma casa está sendo vendida por R$ 240.000,00 à vista. Se desejarmos financiá-la pelo seguinte plano:
R$ 45.000,00 após 60 dias;
Mais 36 prestações mensais e iguais, sendo a primeira após 30 dias;
Determinar o valor das prestações, se a taxa de juros compostos cobrada (inclusive sobre a entrada) é de 3% ao mês.
Solução: em decimais, a taxa de 3% ao mês é dada por
i = 3/100 = 0,03. O valor atual da entrada (60 dias = 2 meses) é:45.000 / (1 + 0,03)2 = 42.416,82. Portanto, o valor a financiar é 240.000,00 − 42.416,82 = 197.583,18.Usando a fórmula #A.1# (Tabela Price), o valor da prestação é calculado por:
197.583,18 x 0,03 / [1 − (1 + 0,03)-36] ≈ 197.583,18 x 0,0458038 ≈ R$ 9.050,06.Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Jan/2008
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