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Introdução
| Topo pág | Fim pág |A cobrança de juros não é prática exclusiva da era moderna. Há indícios históricos de que ocorria desde tempos remotos, na era pré-urbana, quando a atividade econômica era fundamentalmente agrícola. Exemplo: alguém, que por algum motivo tinha um cavalo disponível, podia emprestá-lo a outro que precisava de um cavalo para ajudá-lo em sua colheita. Entretanto, quem emprestou não estava interessado apenas em receber o cavalo de volta após algum tempo. Desejava também uma parte dos grãos que o cavalo contribuiu para produzir, ou seja, era a cobrança de juro sobre o empréstimo do cavalo.
Com o advento da moeda e, mais tarde, dos intermediários financeiros (bancos), as coisas se sofisticaram. Mas o conceito fundamental continua tão simples quanto essa história do cavalo. Nesta série de páginas são apresentadas algumas informações básicas sobre a matéria.
Conceitos básicos, juro simples
| Topo pág | Fim pág |A forma mais elementar de uma operação de empréstimo financeiro é graficamente representada na Figura 01: uma pessoa recebe do credor um valor C e, depois de um período de tempo T, paga ao credor um valor M, correspondente ao valor C acrescido dos juros.
C é denominado capital, valor atual ou valor presente.
M é denominado montante ou valor no horizonte.
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| Figura 01 |
M = C + C i = C (1 + i) #A.1#.É praxe a indicação dos juros em termos percentuais. Portanto,
p = 100 i ou i = p / 100 #A.2#, onde p é o valor do juro em percentual. E a fórmula anterior pode ser escrita:M = C (1 + p/100) #A.3#.
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| Figura 02 |
it = i t / T #B.1#.
De outra forma, pode-se dizer que, se i é a taxa de juro simples para um período T, a taxa in para n períodos T é dada pelo produto:
in = n i #B.2# (equivale à substituição t = n T na fórmula anterior).Na aplicação dos juros simples, as taxas são, portanto, proporcionais. Se i é a taxa para um período, a relação #A.1# para n períodos é assim escrita:
Mn = C (1 + n i) #B.3#. Onde Mn é o montante após n períodos.Exemplo: uma pessoa tomou R$ 1.000,00 emprestados para pagar em seis meses com juros simples de 2% ao mês. Determinar o valor a ser pago.
A taxa decimal é i = 2/100 = 0,02. Portanto, M6 = 1000 (1 + 6 × 0,02) = R$ 1.120,00.
Na praxe comercial, o período-base é, em geral, o ano. Exemplo: juros de 0,12 ou 12% ao ano. São também comuns as seguintes definições para períodos fracionários:
• Juro exato: usa a proporção correspondente aos dias do ano, it = i t / 365.
• Juro comercial: considera o ano com 360 dias, it = i t / 360, e o período t deve ser dado em múltiplos de 30 dias (meses).
• Juro ordinário: mesmo critério do comercial, it = i t / 360, mas o período t pode ser dado em qualquer número de dias.
Notar que os mesmos conceitos de juros são válidos para investimentos, isto é, C pode ser o valor aplicado e M o resgate do investimento com o acréscimo dos juros.
Exemplo: um capital de R$ 10.000,00 é aplicado por 135 dias em um fundo que rende 12% ao ano. Calcular o montante após esse período considerando juro simples ordinário.
A taxa anual é i = 12/100 = 0,12. Segundo definição anterior, i145 = 0,12 145 / 360 ≈ 0,048. Aplicando #A.1#,
M = 10000 (1 + 0,048) = R$ 10.480,00.
Exemplo: se uma aplicação rende 12% ao ano, calcular o tempo necessário para dobrar o capital investido considerando juros simples.
Usa-se a relação #B.3#:
Mn = C (1 + n i). Neste caso, Mn = 2 C e i = 12/100 = 0,12. Substituindo,2 C = C (1 + 0,12 n). Resolvendo, n ≈ 8,33 anos.
Juro composto
| Topo pág | Fim pág |No conceito de juro composto, os juros dos períodos anteriores são acumulados para o período seguinte em forma de progressão geométrica.
No exemplo da Figura 01, cada retângulo numerado representa um período T, ao qual corresponde uma taxa de juro i.
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| Figura 01 |
M1 = C (1 + i). Esse valor é o capital para o início do segundo período. Assim,
M2 = M1 (1 + i) = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)2.
Para o último período, M12 = C (1 + i)12. Generalizando para n períodos,
Mn = C (1 + i)n #A.1#.Considerando os n períodos equivalentes a um único período de taxa in, pode-se fazer a igualdade
Mn = C (1 + i)n = C (1 + in). Simplificando,
in = (1 + i)n − 1 #B.1#.Essa fórmula calcula, portanto, a taxa de juro composto in para n períodos de taxa de juro i. Ela pode ser rearranjada para indicar a taxa por período i em função da taxa dos n períodos in:
i = (1 + in)1/n − 1 #B.2#.Supõe-se agora a relação #B.1# com k períodos,
ik = (1 + i)k − 1. Se é conhecida a taxa in para n períodos, substitui-se o valor de i dado por #B.2# nessa relação e o resultado é:ik = (1 + in)k/n − 1 #B.3#. Ou seja, a taxa para k períodos é calculada em função da taxa para n períodos.Em razão do fato de o capital de um período ser igual ao montante (capital mais juros) do período anterior, juros compostos são também denominados juros capitalizados ou juros sobre juros.
Na maioria dos países, inclusive o Brasil, as operações financeiras são quase sempre calculadas com juros compostos. É necessário, entretanto, prestar atenção a alguns conceitos de praxe para evitar equívocos:
• Taxa nominal: é um valor apenas de referência, adotado para um determinado período (em geral, um ano), com menção dos períodos a capitalizar. Exemplo: 36% ao ano capitalizados mensalmente.
• Taxa do período (proporcional): é a taxa nominal proporcional a cada período de capitalização. No exemplo anterior, o seu valor é 36% / 12 = 3% ao mês.
• Taxa efetiva: é a taxa de juros compostos, calculada com a taxa por período, para o número de períodos desejados.
Exemplo: no caso de 36% ao ano capitalizados mensalmente, a taxa por período é p = 36% / 12 = 3% ao mês. Ou i = p/100 = 0,03. Para um ano (12 meses), a taxa efetiva é calculada segundo igualdade #B.1#:
i12 = (1 + 0,03)12 − 1 ≈ 0.426 ou 42,6%.
Na forma genérica, é comum o uso da notação i(m), onde i é a taxa nominal para o ano e m é o número de capitalizações por ano (não é expoente). Assim, a taxa do período é i(m)/m. Substituindo em #B.1# e reagrupando,
(1 + i(m)/m)m = i + 1 #C.1#. Onde i é a taxa anual efetiva equivalente a i(m).| n | 1% | 2% | 3% | 4% | 5% | 6% | 7% | 8% | 9% | 10% | 12% | 15% | 18% |
| 1 | 1,010 | 1,020 | 1,030 | 1,040 | 1,050 | 1,060 | 1,070 | 1,080 | 1,090 | 1,100 | 1,120 | 1,150 | 1,180 |
| 2 | 1,020 | 1,040 | 1,061 | 1,082 | 1,103 | 1,124 | 1,145 | 1,166 | 1,188 | 1,210 | 1,254 | 1,323 | 1,392 |
| 3 | 1,030 | 1,061 | 1,093 | 1,125 | 1,158 | 1,191 | 1,225 | 1,260 | 1,295 | 1,331 | 1,405 | 1,521 | 1,643 |
| 4 | 1,041 | 1,082 | 1,126 | 1,170 | 1,216 | 1,262 | 1,311 | 1,360 | 1,412 | 1,464 | 1,574 | 1,749 | 1,939 |
| 5 | 1,051 | 1,104 | 1,159 | 1,217 | 1,276 | 1,338 | 1,403 | 1,469 | 1,539 | 1,611 | 1,762 | 2,011 | 2,288 |
| 6 | 1,062 | 1,126 | 1,194 | 1,265 | 1,340 | 1,419 | 1,501 | 1,587 | 1,677 | 1,772 | 1,974 | 2,313 | 2,700 |
| 7 | 1,072 | 1,149 | 1,230 | 1,316 | 1,407 | 1,504 | 1,606 | 1,714 | 1,828 | 1,949 | 2,211 | 2,660 | 3,185 |
| 8 | 1,083 | 1,172 | 1,267 | 1,369 | 1,477 | 1,594 | 1,718 | 1,851 | 1,993 | 2,144 | 2,476 | 3,059 | 3,759 |
| 9 | 1,094 | 1,195 | 1,305 | 1,423 | 1,551 | 1,689 | 1,838 | 1,999 | 2,172 | 2,358 | 2,773 | 3,518 | 4,435 |
| 10 | 1,105 | 1,219 | 1,344 | 1,480 | 1,629 | 1,791 | 1,967 | 2,159 | 2,367 | 2,594 | 3,106 | 4,046 | 5,234 |
| 11 | 1,116 | 1,243 | 1,384 | 1,539 | 1,710 | 1,898 | 2,105 | 2,332 | 2,580 | 2,853 | 3,479 | 4,652 | 6,176 |
| 12 | 1,127 | 1,268 | 1,426 | 1,601 | 1,796 | 2,012 | 2,252 | 2,518 | 2,813 | 3,138 | 3,896 | 5,350 | 7,288 |
| 13 | 1,138 | 1,294 | 1,469 | 1,665 | 1,886 | 2,133 | 2,410 | 2,720 | 3,066 | 3,452 | 4,363 | 6,153 | 8,599 |
| 14 | 1,149 | 1,319 | 1,513 | 1,732 | 1,980 | 2,261 | 2,579 | 2,937 | 3,342 | 3,797 | 4,887 | 7,076 | 10,147 |
| 15 | 1,161 | 1,346 | 1,558 | 1,801 | 2,079 | 2,397 | 2,759 | 3,172 | 3,642 | 4,177 | 5,474 | 8,137 | 11,974 |
| 16 | 1,173 | 1,373 | 1,605 | 1,873 | 2,183 | 2,540 | 2,952 | 3,426 | 3,970 | 4,595 | 6,130 | 9,358 | 14,129 |
| 17 | 1,184 | 1,400 | 1,653 | 1,948 | 2,292 | 2,693 | 3,159 | 3,700 | 4,328 | 5,054 | 6,866 | 10,761 | 16,672 |
| 18 | 1,196 | 1,428 | 1,702 | 2,026 | 2,407 | 2,854 | 3,380 | 3,996 | 4,717 | 5,560 | 7,690 | 12,375 | 19,673 |
A tabela acima dá os resultados de
(1 + i)n, onde i = p/100, para diversos valores de p e n. Naturalmente, ela é desnecessária diante de calculadoras e programas como planilhas de cálculo. Mas em provas, o seu uso pode ser solicitado.
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| Figura 02 |
O gráfico da Figura 02 faz a comparação do montante M de um capital C = R$ 100,00 em relação ao período em meses, para juros simples e compostos de i = 0,01 (ou 1%) por mês.
De acordo com fórmulas já vistas,
• Juros simples: M = 100 (1 + 0,01 n).
• Juros compostos: M = 100 (1 + 0,01)n.
Essas fórmulas permitem deduzir (e o gráfico demonstra) que, para a mesma taxa por período, juros compostos produzem resultados mais elevados por serem progressões geométricas.
Exemplo (fonte: CFC 1º sem. 2003): numa aplicação, sob o regime de capitalização composta, deseja-se dobrar os juros. Considere o tempo de aplicação maior do que 1 (um). O que deverá ser feito é:
a) Dobrar a taxa de juros. b) Dobrar o capital aplicado. c) Dobrar o tempo de aplicação. d) Quadruplicar o tempo de aplicação.
Solução: supõe-se uma aplicação simples com um investimento único e um resgate único depois de n períodos com juros i por período. É usada a relação entre valor atual e valor no horizonte conforme #A.1#:
M = C (1 + i)n. Os juros que se deseja dobrar são a diferença M − C = C (1 + i)n − C = C [(1 + i)n − 1].Entre as alternativas apresentadas, a única que dobra esse valor é o dobro do capital aplicado (2C). As demais afetam a expressão exponencial (1 + i)n, que não resulta no dobro. Resposta (b).
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