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Transformada de Laplace II-20
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Exemplos de uso em alguns sistemas físicos:
Alguns elementos mecânicos | Sistema massa, mola e amortecedor |
A Figura 01 exibe esquema de alguns elementos mecânicos sujeitos à ação de uma força variável com o tempo f(t). Para a massa conforme (a) da figura, usa-se a segunda lei de Newton,
#A.1#
E a transformada de Laplace é:
F(s) = m s2 X(s)#A.2#
Fig 01
Para uma mola de constante k, como em (b) da figura,
f(t) = k x(t)#B.1#
Portanto,
F(s) = k X(s)#B.2#
No caso de um amortecedor como em (c) da figura,
#C.1#
Portanto,
F(s) = c s X(s)#C.2#
Onde c é o coeficiente de amortecimento. Mais informações sobre sistemas de massa, mola e amortecedor podem ser vistas nas páginas sobre vibrações mecânicas deste site.
Seja agora o caso de um sistema massa, mola e amortecedor sujeito à ação de uma força externa f(t) conforme Figura 02. Então, essa força deve ser a resultante das forças em cada elemento:
#D.1#
Usando as igualdades anteriores para as transformadas de Laplace de cada elemento,
(m s2 + c s + k) X(s) = F(s)#D.2#
#D.3#
Genericamente, a função definida pela relação entre as transformadas de Laplace da saída e e da entrada de um sistema é denominada função de transferência G(s). Portanto, para o sistema da Figura 02, a função de transferência da saída deslocamento X(s) e da entrada força resultante é:
#D.4#
De modo que:
X(s) = G(s) F(s)#D.5#
Fig 02
Seja o caso particular da aplicação de uma força constante P a partir de t = 0, isto é:
#E.1#
Essa é a função degrau unitário multiplicada por uma constante P. Assim,
F(s) = P/s#E.2#
Substituindo em #D.3#,
#E.3#
Seja agora o seguinte exemplo numérico:
P = 100 N
m = 100 kg
c = 300 N s/m
k = 200 N/m
Substituindo na igualdade #E.3#,
#F.1#
Considerando a igualdade matemática:
(s2 + 3s + 2) s = s (s + 1) (s + 2)#F.2#
#F.3#
Aplicando a expansão em frações parciais,
#F.4#
As raízes do polinômio #F.2# são:
{0}, {−1} e {−2}#F.5#
Usando o método já visto na página Transformada de Laplace I-30,
#F.6#
#F.7#
#F.8#
Substituindo esses valores em #F.4#,
#F.9#
E o deslocamento é dado pela transformada inversa:
#F.10#
A Figura 03 exibe o gráfico desse resultado.
Fig 03
Seja o mesmo exemplo com os seguintes valores:
P = 100 N
m = 100 kg
c = 200 N s/m
k = 200 N/m
A igualdade #E.3# passa a ser:
#G.1#
As raízes de (s2 + 2s + 2) são complexas:
(−1 + j) e (−1 − j). Portanto,
(s2 + 2s + 2) = (s + 1 + j) (s + 1 − j)#G.2#
Para esse caso de raízes complexas, a expansão em frações parciais é dada por:
#G.3#
O coeficiente a é determinado pelo mesmo método anterior:
#G.4#
De #G.3#, pode-se deduzir:
#G.5#
Portanto, b = −0,5 e c = −1.
Considera-se a igualdade:
s2 + 2s + 2 = (s + 1)2 + 1#G.6#
Substituindo tudo em #G.3#,
#G.7#
Com as parcelas arranjadas na forma acima, a transformada inversa pode ser determinada com auxílio de uma tabela. Ver tópico Transformadas de Laplace para algumas funções.
O resultado é:
#G.8#
Usando identidade trigonométrica (ver Relações trigonométricas) para (sin t + cos t),
#G.9#
O gráfico para esse resultado é dado na Figura 04. Observa-se que há uma oscilação amortecida, embora pouco visível no gráfico devido aos valores escolhidos. Nessa situação, o sistema é dito subamortecido.
Fig 04
No exemplo anterior (Figura 03 e igualdade #F.10#), não há oscilação e o sistema é denominado superamortecido.
A relação matemática para essas condições pode ser vista no tópico Oscilações amortecidas das páginas sobre vibrações mecânicas:
#H.1#
Para esse exemplo (subamortecido),
c0 = 2 100 √(200/100) ≈ 283. Com c = 200. Portanto, c < c0
Para o exemplo anterior (superamortecido),
c0 = 2 100 √(200/100) ≈ 283. Com c = 300. Portanto, c > c0
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