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Transformada de Laplace I-40
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Teorema do deslocamento |
Teorema da convolução |
Teorema do deslocamento
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Considera-se a definição da Transformada de Laplace:
#A.0#
A transformada de e−λt f(t) é calculada por:
#A.0.1#
Portanto,
#A.1#
Exemplo:
Determinar a transformada inversa da função:
Solução:
Com álgebra simples, s2 + 4s + 13 = s2 + 4s + 4 + 9 = (s + 2)2 + 32
Portanto,
Seja a função:
A sua transformada inversa é f(t) = sin 3t. Mas G(s) = F(s + 2). Portanto, segundo #A.1#,
De outra forma, o teorema do deslocamento pode ser escrito:
#B.1#
Teorema da convolução
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A convolução (ou produto de convolução) de duas funções f(t) e g(t) é definida por:
#A.1#
Da definição acima e da definição de transformada de Laplace, pode ser demonstrado que:
#B.1#
De forma análoga,
#B.2#
Exemplo: resolver a equação diferencial:
y''(t) + y(t) = cos t
As condições iniciais são: y'(0) = y(0) = 0
Solução:
Da transformada de derivadas, conforme visto na primeira página desta série e para as condições iniciais informadas,
L{ y''(t) } = s2 L{ y(t) } − s y(0) − y'(0) = s2 L{ y(t) }
Aplicando a transformada em ambos os lados e substituindo,
s2 L{ y(t) } + L{ y(t) } = (s2 + 1) L{ y(t) } = L{ cos t }
Portanto,
De acordo com #B.1#,
L{ sin t } L{ cos t } = L{ (sin * cos)(t) }
Para o cálculo da convolução acima, usa-se a identidade trigonométrica:
cos a sin b = (1/2) [ sin(a + b) − sin(a − b) ]
Portanto,
E a solução é:
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