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Transformada de Laplace I-30
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Método das frações parciais |
Método das frações parciais
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Seja uma função genérica F(s), dada pela divisão de duas polinomiais (onde m < n):
#A.1#
A expansão de F(s) em frações parciais pode ser feita na forma:
#A.2#
As seguintes definições são adotadas:
• Os valores pn ... p1 são as raízes de A(s) e são denominados pólos de F(s).
• As raízes de B(s) são os zeros de F(s).
• O valor ki é denominado resíduo em s = pi.
Multiplicando #A.2# por um denominador genérico s − pi,
#A.3#
Se s = pi, ocorre:
#A.4#
E os valores das constantes ki podem ser determinados através da relação acima.
Exemplo: seja a função:
As raízes do polinômio do denominador são −1, −2 e −3. Portanto,
Conforme #A.4#,
Portanto, a função F(s) pode ser escrita:
Com esse resultado, a transformada inversa de Laplace é facilmente calculada:
Se o polinômio do denominador tem raízes repetidas, o procedimento é mais complexo. Consideram-se uma raiz igual a p1 e r raízes iguais a p2:
#B.1#
E a expansão da função acima ocorre na forma:
#B.2#
O coeficiente k1 pode ser calculado pela multiplicação de ambos os lados por (s − p1) conforme método anterior. Omitindo a demonstração, um coeficiente k2i é dado por:
#B.3#
Exemplo: seja a função:
O denominador tem duas raízes iguais (−1). Assim, a expansão é dada por:
Neste caso simples, não é preciso usar a fórmula anterior. Multiplicando os lados por (s + 1)2,
s + 2 = k21 (s + 1) + k22
Fazendo s = −1 nessa igualdade, tem-se k22 = 1. Substituindo esse valor,
s + 1 = k21 (s + 1)
Portanto, k21 = 1. E o resultado da expansão é:
E a transformada inversa de Laplace pode ser determinada:
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