Transformada de Laplace I-20

MSPC - Informações Técnicas

Transformada de Laplace I-20

Alguns exemplos

(Topo pág | Fim pág)

Exemplo 01: seja f(t) = 3 u(t) + 5 e^−2t, onde u(t) é a função degrau unitário. Determinar sua transformada de Laplace.

Usando a propriedade de linearidade (ver página anterior),

F(s) = ℒ{ 3 u(t) } + ℒ{ 5 e^−2t } = 3 ℒ{ u(t) } + 5 ℒ{ e^−2t }

Exemplo 02: seja

Determinar a transformada inversa, isto é, f(t) ou ℒ⁻¹{ F(s) }.

Poder-se-ia usar a fórmula de integração vista na página anterior para a transformada inversa. Mas esse aspecto não é aqui dado em detalhes e o problema pode ser resolvido de outra forma, considerando que

s² + 3s + 2 = (s + 1) (s + 2)

Sejam então duas incógnitas α e β tais que a relação abaixo seja verdadeira.

Desenvolvendo,

Portanto,

(α + β) s + 2 α + β = 1. Essa relação é válida se (α + β) = 0. Assim,

α = 1
β = −1

Então,

A relação abaixo foi vista na página anterior:

Concluindo,

Solução de equações diferenciais lineares

(Topo pág | Fim pág)

Considera-se a propriedade da linearidade:

ℒ{ a f(t) + b g(t) } = a F(s) + b G(s)

Também a transformada da derivada:

ℒ{ f'(t) } = s F(s) − f(0)

Com elas, é possível resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Exemplo 01: seja a equação diferencial

Com condição inicial y(0) = 4. Resolver usando a transformada de Laplace.

O procedimento inicial é determinar a transformada de Laplace para ambos os lados:

Com essa operação, a derivada é eliminada e Y(s) pode ser facilmente isolado com a substituição do valor dado de y(0):

Usando método similar ao do segundo exemplo do tópico anterior, a fração acima é separada em partes mais simples:

E o problema é resolvido com a transformada inversa:

Exemplo 02: uma cuba tem capacidade de V litros conforme Figura 01 e, inicialmente, contém esse volume de água pura. A partir do instante t = 0, é aplicada uma vazão constante de Q litros por segundo de água com uma concentração constante de c gramas por litro de um determinado sal.

O volume V de água é mantido constante pelo bocal de saída e a concentração é mantida homogênea pelo agitador.

Determinar a variação com o tempo da concentração y(t) de sal na cuba.

Exemplo de aplicação de transformada de Laplace

Fig 01

Da figura, é possível concluir que, a cada instante, a quantidade de sal que entra (Q c) menos a que sai (Q y) deve ser igual à variação da quantidade de sal na cuba, ou seja:

Aplicando a transformada de Laplace a ambos os lados dessa equação,

Desde que, inicialmente, a água é pura, y(0) = 0.

Reagrupando,

Determinando a transformada inversa,

Topo | Página anterior | Próxima página | | Última revisão ou atualização: Dez/2007