Transformada de Laplace I-10

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Transformada de Laplace I-10

Conceito e outras informações

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Seja uma função de domínio de tempo f(t). A transformada de Laplace para essa função é dada por:

#A.1#

É o mapeamento do domínio tempo para o domínio s, uma variável complexa. Considerando que a variável t indica tempo, s deve ter a dimensão do inverso de tempo (freqüência), uma vez que que o expoente − s t deve ser adimensional.

Obs: o símbolo usual é o L maiúsculo manuscrito (ℒ), que pode ter algumas variações em função do conjunto de caracteres (fonte) usado. Em algumas páginas deste site, é também adotado o caractere normal (L).

Desde que é uma transformação linear, valem as propriedades desta última. Por exemplo,

#B.1#

Um exemplo simples de determinação da transformada de Laplace é a função degrau unitário u(t) conforme Figura 01:

u(t) = 1 para t ≥ 0#C.1#
u(t) = 0 para t < 0

Fig 01

Portanto,

#C.2#

O inverso da transformada de Laplace é dado por:

#D.1#

Corresponde a uma integração de linha no plano complexo. Por enquanto, mais detalhes não são aqui informados.

Transformadas de Laplace para algumas funções

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É importante lembrar que as funções consideradas para transformadas de Laplace têm valor nulo para t < 0. Um exemplo para f(t) = e^at é dado na Figura 01 a seguir:

Fig 01

Portanto, a função acima pode ser rigorosamente escrita como f(t) = e^at u(t). Onde u(t) é a função degrau unitário vista no tópico anterior.

A tabela a seguir dá as transformadas de Laplace para algumas funções usuais.

`f(t)`	`ℒ{ f(t) }`	`Ref`
1		#A.1#
e^at		#A.2#
		#A.21#
tⁿ		#A.3#
sin ωt		#A.4#
cos ωt		#A.5#
e^−at sin ωt		#A.6#
e^−at cos ωt		#A.7#

Função delta (ou função impulso)

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Seja uma função definida na forma:

δ_n (t) = n para 0 ≤ t < 1/n#A.1#
δ_n (t) = 0 caso contrário

Graficamente, essa função pode ser vista em (a) da Figura 01.

Fig 01

Para qualquer n, pode ser facilmente deduzido que:

#A.2#

A função delta (ou função impulso) é dada pelo limite de δ_n (t) quando n tende para infinito:

δ(t) = lim_n→∞ δ_n (t)#B.1#

De #A.1#, pode ser deduzido que:

δ(t) = ∞ para t = 0#B.2#
δ(t) = 0 para t ≠ 0

De #A.2#, tem-se:

#B.3#

Rigorosamente, δ(t) não pode ser considerada uma verdadeira função matemática, mas é uma abstração útil para indicar um pulso de curta duração, de forma similar a um ponto material da Mecânica. A representação gráfica usual é dada em (b) da Figura 01.

A função delta tem a propriedade:

#B.4#

Essa propriedade permite determinar a transformada de Laplace:

#B.5#

Da definição anterior da função degrau unitário, deduz-se:

#B.6#

Comparando com #B.2#, pode-se escrever:

#B.7#

Portanto, a função delta pode ser considerada a derivada da função degrau unitário.

Algumas propriedades

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Sejam as funções:

F(s) = ℒ{ f(t) }
G(s) = ℒ{ g(t) }

Algumas propriedades são dadas pelas relações a seguir.

#A.1#

#B.1#

#C.1#

#D.1#

#E.1#

#F.1#

Transformadas de derivadas e de integrais

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#A.1#

#A.2#

#B.1#

Teoremas do valor inicial e do valor final

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Valor inicial:

lim _t→0 f(t) = lim _s→∞ s F(s)#A.1#

Valor final:

lim _t→∞ f(t) = lim _s→0 s F(s)#B.1#

O teorema do valor final é útil para a determinação do limite n→∞ de uma função f(t) através da transformada de Laplace. Entretanto, a igualdade só é válida se sF(s) não tiver singularidades na parte direita (Re(s) ≥ 0) do plano complexo.

Seja o exemplo da função:

. Tem-se o produto:

A singularidade ocorre para s = −1. Portanto, pode-se calcular:

Considera-se agora a função:

Pode-se concluir que a igualdade não é válida em razão do comportamento em s = +2.

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