Transformada de Fourier I-10

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Transformada de Fourier I-10

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Conceitos básicos |
Exemplo: pulso retangular |

O uso das transformadas de Fourier ocorre em áreas diversas como análise de sistemas, ótica, física quântica, teoria das probabilidades, etc. Na Eletrônica, a aplicação mais comum é o estudo de espectros de sinais, ou seja, a análise dos mesmos no domínio de freqüência e não de tempo. Esta página procura das algumas informações elementares sobre essa aplicação.

Conceitos básicos

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Seja um sinal genérico cuja amplitude y em função do tempo t é dada pela função:

y = g(t) #A.1#

Diz-se então que g é uma função de domínio de tempo (t). A transformada de Fourier para essa função é uma função G(f) dada por:

#A.2#

Onde:

j: unidade imaginária (√−1)
e, π: constantes matemáticas
t: tempo
f: freqüência

Desde que a integração é feita pela variável de tempo t, ela desaparece no resultado final e é obtida uma função G(f) que indica a intensidade de cada freqüência que forma o sinal, isto é, o seu espectro. Propriedades e outros aspectos da transformada de Fourier não são comentados neste tópico.

Nos casos práticos em que amostras sucessivas do sinal são medidas, a Transformada Discreta de Fourier (DFT, segundo sigla em inglês) é usada para permitir o cálculo a partir dessa amostragem. Sejam então os parâmetros:

g(t): função do sinal em domínio de tempo.
G(f): função do sinal em domínio de freqüência.
N: número de amostras do sinal.
τ: intervalo de tempo entre amostras consecutivas.
k: índice base zero de N amostras, isto é, k varia de 0 a N−1.
t(k): tempo da amostra de ordem k, ou seja, igual a k τ.
j: unidade imaginária (√−1)
e, π: constantes matemáticas
t: tempo
f: freqüência

Com variáveis discretas, a integral anterior é trocada por somatório, considerando dt = τ e substituindo t por t(k), que é igual a k τ. Fazendo isso em #A.2# e reagrupando,

#B.1#

Considerando que g(t) ou g[t(k)] é uma magnitude do sinal periódico em função do tempo, poder-se-ia esperar que G(f) indicasse as amplitudes das senóides que compõem esse sinal na mesma grandeza física. Entretanto, a análise dimensional de #A.2# ou $B.1# mostra que há diferença. Supondo unidades SI, se, por exemplo, g(t) é a tensão (volt) de um sinal periódico, a dimensão de G(t) ou G([t(k)] será volt segundo.

Tratando apenas do caso discreto, verifica-se que G(f) é proporcional ao tempo total de amostragem (N τ). Dividindo o lado direito de #B.1# por esse termo, chega-se à formulação usada em cálculos práticos (e dimensionalmente coerente):

#B.2#

A relação acima ainda não está na forma adequada para cálculos práticos. O último termo é a representação exponencial de um número complexo, e o que se procura normalmente é a magnitude de G(f), que corresponde ao módulo do número gerado pela fórmula. De acordo com a teoria dos números complexos, pode-se separar as partes real e imaginária:

#B.3#

#B.4#

A amplitude em função da frequência corresponde ao módulo, que é dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados das partes real e imaginária. Para frequência zero (componente DC do sinal) o resultado é válido, mas, para outras frequências deve ser multiplicado por 2, uma vez que a transformada considera também o espectro negativo de frequências. Assim, a amplitude A(f) é dada por:

#B.5#

Onde C = 1 para f = 0 e C = 2 nos demais casos. Se o propósito for obter os valores rms do sinal, os valores para frequência não nula devem ser divididos por √2. Alternativamente, pode ser usado C = √2 na fórmula.

Quanto ao ângulo de fase, ele é dado pelo arco cuja tangente é igual à relação entre as partes imaginária e real. Entretanto, há necessidade de alguma análise. Um sinal de função seno produz uma fase de -90° na sua frequência. A função cosseno apresenta 0°. Na maioria dos casos práticos, deseja-se saber a diferença em relação à frequência fundamental e, portanto, todos os ângulos são subtraídos do ângulo de fase da frequência fundamental (1º harmônico).

Exemplo: pulso retangular

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Uma função f(t) de pulso retangular normalizado é dada por:

f(t) = 0 se |t| > 1/2 #A.1#
f(t) = 0 ou 1 se |t| = 1/2 #A.2#
f(t) = 1 se |t| < 1/2 #A.3#

Fig 01

Este é um caso para uso da forma contínua segundo #A.2# do tópico Conceitos básicos:

#B.1#

A figura a seguir mostra o gráfico para o valor absoluto de G(f).

Fig 02

Conclui-se, portanto, que o pulso retangular tem todas as frequências, de zero a infinito.

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Referências:

ANDREWS, James R.; ARTHUR, Gerald M. Spectrum Amplitude - Definition, Generation and Measurement. National Bureau of Standards, 1977.

The Fundamentals of FFT-Based Signal Analysis and Measurement in LabVIEW and LabWindows/CVI. National Instruments, 2006.

VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Planetmath. http://planetmath.org/.