Séries de Fourier I-20

MSPC - Informações Técnicas

Séries de Fourier I-20

Outro exemplo: retificador de onda completa

(Topo pág | Fim pág)

Aqui há uma mudança de notação: as séries de Fourier são usadas em geral para análise de sinais que variam com o tempo, ou seja, a variável x é tempo. É praxe o emprego da letra t para isso. Assim, no lugar de f(x), será usado f(t).

Retificadores de onda completa aproveitam os dois semiciclos e produzem saídas na forma de uma sucessão de meias-senoides de mesma polaridade. Assim, o período é igual à metade do período da corrente de entrada. Mais algumas informações sobre retificadores podem ser encontradas na página Fontes deste site.

Fig 01

Na Figura 01, f(t) é o resultado aproximado da retificação de uma tensão senoidal de período 2π e tensão de pico V = 6 V. A série de Fourier para ela é:

#A.1#

Regra de formação dos denominadores das parcelas:

3 = 1.3 15 = 3.5 35 = 5.7 etc.

Nota-se a presença do componente contínuo 2V/π, representado pela linha horizontal superior na figura.

A curva f(t) da figura não tem o formato ideal porque foram usadas apenas as 4 parcelas dadas na igualdade anterior. Se fossem infinitas, a curva teria meias senoides perfeitas, tocando o eixo horizontal no valor zero.

Mais sobre harmônicos

(Topo pág | Fim pág)

Os sinais periódicos se transmitem pelos meios físicos como um conjunto de componentes senoidais conforme respectivas séries de Fourier. Se o sinal é senoidal, o processo é facilitado por existir somente o componente fundamental. Se não é, haverá em geral infinitos harmônicos. Nenhum dispositivo real tem resposta de freqüência em uma faixa infinita. Assim, os circuitos de transmissão e recepção de sinais devem ter largura de banda suficiente para a passagem dos harmônicos mais significativos, de forma a permitir a reconstituição mais próxima possível do sinal original.

Em alguns casos, harmônicos são indesejáveis. A Figura 01 (A) ilustra um método de controle de potência para resistências de aquecimento alimentadas por corrente alternada. Semicondutores de potência e circuitos de controle são usados para cortar os semiciclos da corrente por um intervalo de tempo t. Assim, a potência pode ser controlada de 0 a 100% pela variação de t de T/2 a 0. É o processo básico dos dimers usados para variar iluminação em residências.

Controles de potência por corte de pulso e por trem de pulsos

Fig 01

No método da Figura 01 (A) são gerados harmônicos, uma vez que a corrente continua periódica, mas deixa de ser senoidal. No caso de um controle residencial de algumas centenas de watts, isso não representa problema. Num equipamento industrial, de dezenas ou centenas de quilowatts, harmônicos na faixa de megahertz podem ter intensidade suficiente para produzir interferências em outros aparelhos eletrônicos. Nesse caso, o método (B) parece mais adequado. Ligam-se ou desligam-se seqüências de ciclos inteiros e o que se varia é a quantidade deles. Portanto, a forma senoidal é preservada, evitando harmônicos.

Calculando os coeficientes

(Topo pág | Fim pág)

Seja a série de Fourier:

#A.1#

Os seus coeficientes são dados por:

#A.2#

#A.3#

A depender do sinal, a integração matemática pode ser trabalhosa ou complexa. Entretanto, métodos de integração gráfica usados em computadores tornam a tarefa bastante simples e existem instrumentos e programas para analisar na prática qualquer sinal periódico.

Topo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Dez/2009

Referências:

BOUCHÉ, Ch; LEITNER, A; SASS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.

Planetmath. http://planetmath.org/.

VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.