Séries de Fourier I-10

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Séries de Fourier I-10

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Definição e exemplo |

Definição e exemplo

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Uma função f(x) é dita periódica de período p se, para qualquer n inteiro e positivo,

f(x) = f(x + np) #1.1#

O estudo dessas funções é de especial importância na análise de oscilações, que são por natureza variações periódicas de grandezas físicas. Na Figura 01, exemplo gráfico de uma função periódica.

Fig 01

Seja f(x) uma função periódica de período 2π. A série de Fourier para essa função é a representação em forma de uma soma infinita de cossenos e senos:

#A.1#

De outra forma,

#A.2#

O coeficiente b₀ não é indicado porque sin 0 = 0.

Casos particulares:

• Se f(x) é uma função par, isto é, f(−x) = f(x), os b_k são nulos e a série é uma soma de cossenos.

• Se f(x) é uma função ímpar, isto é, f(x) = −f(−x), os a_k são nulos e a série é uma soma de senos.

• Se f(x + π) = −f(x), só existem coeficientes de índice ímpar.

Forma alternativa: a série de Fourier pode ser escrita também na forma:

#B.1#

Onde:

#B.2#

Exemplo:

Na prática, não é possível o trabalho com infinitas parcelas e um número limitado deve ser empregado. Seja o exemplo da Figura 02, onde o sinal retangular dado pela função f(x) é resultante de:

f(x) = 5 + (4)sen x + (4/3)sen 3x + (4/5)sen 5x + (4/7)sen 7x + ...

Na figura, f(x) é a soma das 5 parcelas explícitas nessa relação, que já produzem uma certa aproximação. Se fossem infinitas, o resultado seria uma forma geométrica perfeita conforme indicado pela linha tracejada.

Fig 02

Considerando um sinal elétrico, analisa-se cada uma das parcelas da soma da série.

A primeira parcela (valor 5) é constante. Se não existisse, isto é, se fosse nula, o sinal estaria acima e abaixo do nível zero. Assim, pode-se dizer que ela é o componente de corrente contínua do sinal.

A segunda parcela (4 sin x) tem o mesmo período ou mesma freqüência (inverso do período) do sinal original. Por essa igualdade, é denominada oscilação fundamental (ou primeiro harmônico) do sinal.

As parcelas seguintes têm freqüências múltiplas (sin 3x, sin 5x, ...) da fundamental. São chamadas oscilações harmônicas ou simplesmente harmônicos do sinal.

Portanto, pode-se dizer que todo sinal periódico é formado por um componente contínuo (que pode ser nulo), uma oscilação fundamental e oscilações harmônicas. Um sinal senoidal puro tem somente a oscilação fundamental (ou primeiro harmônico).

Os coeficientes a_k e b_k são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico.

A Figura 03 é um gráfico das amplitudes dos 25 primeiros harmônicos do sinal quadrado em estudo. Esse tipo de gráfico é denominado espectro de freqüências do sinal. Nele, não está considerado o componente contínuo (a₀/2 na formulação da série).

Fig 03

O componente contínuo também pode ser visto como a amplitude do componente de freqüência zero do sinal.

Sinais desse tipo são bastante usados em circuitos digitais e de chaveamento, uma vez que as transições entre os níveis máximos e mínimos (as bordas dos pulsos) definem precisamente os tempos de comutação. São usados também em sintetizadores musicais para produzir alguns efeitos sonoros.

Para gerar um sinal retangular perfeito, um circuito precisaria produzir e transmitir todos os seus infinitos harmônicos, isto é, ter uma largura de banda infinita. É evidente que isso não existe na prática, mas, em muitos casos, uma faixa até o quinto harmônico dá aproximação suficiente. A limitação de largura de banda pode também ser vista pelo lado da geração do pulso, ou seja, nenhum dispositivo prático consegue comutar instantaneamente de um nível de tensão ou corrente para um outro nível. Sempre há um tempo não nulo de subida ou descida (rise time, fall time).

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Referências:

BOUCHÉ, Ch; LEITNER, A; SASS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.

Planetmath. http://planetmath.org/.

VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.