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Equações diferenciaisConceito e soluções para alguns tipos Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | |
Uma função desconhecida na forma
Φ(x, y, y', y'', ... ,y'n) = 0 #A.1# é dita uma equação diferencial de n-ésima ordem.Uma função
y = φ(x) #A.2# é dita solução de uma equação diferencial se, quando substituída na equação, esta é reduzida a uma igualdade.Na forma genérica
y' = f(x) #B.1# a solução é dada por:y = ∫f(x) dx + C #B.2#.Desde que C é a constante de integração, existem infinitas soluções. Em processos práticos, C é determinado pelas condições iniciais:
C = y(x0) = y0 #B.3#.Exemplo:
y' = cos x #B.4# tem como solução y = sen x + C #B.5#.Equações com variáveis separadas na forma:
P(x) dx + Q(y) dy = 0 #C.1#. Onde o coeficiente P depende só de x e Q depende só de y, a solução é dada por:∫ P(x) dx + ∫ Q(y) dy = C (constante) #C.2#.Exemplo:
sen x dx + dy / √y = 0 #C.3#.Integrando,
∫sen x dx + dy / √y = C. Resolvendo, − cos x + 2 √y = C.Para as condições iniciais
x0 = π/2 e também y0 = 3, obtém-se C = 2 √ 3. Portanto, a solução particular para essas condições iniciais é:y = ( 2 √ 3 + cos x )2 / 4 #C.4#.Separação de variáveis:
Seja a forma
X1 Y1 dx + X2 Y2 dy = 0 #D.1#, onde X1 e X2 dependem somente de x e Y1 e Y2 dependem somente de y. Neste caso, pode ser reduzida à forma anterior pela divisão por Y1X2.Exemplo:
y dx − x dy = 0 #D.2#.Dividindo por xy, ocorre
dx/x − dy/y = 0 e as variáveis estão separadas no formato anterior.Assim,
∫ dx/x − ∫ dy/y = C. Resolvendo, ln |x| − ln |y| = C. Reagrupando, ln |x/y| = C.Se considerado
C = ln C1, o resultado é x/y = C1 #D.3#.Exemplo: transformação adiabática de um gás ideal,
dQ = cv dT + p dv = 0 #E.1#.Consideram-se as relações da Termodinâmica:
cp − cv = R. Reagrupando, (cp − cv)/R = 1 (a ser multiplicada pela 2ª parcela, p dv).cp/cv = γ.Assim,
cv dT + (cp − cv) p dv / R = 0. Reagrupando, R dT = −(cp − cv) p dv / cv. Substituindo e simplificando,R dT = −(γ−1) p dv.Da lei dos gases ideais,
pv = RT. A diferencial é R dT = p dv + v dp. Fazendo a igualdade dos termos R dT,p dv + v dp = −(γ−1) p dv.γ p dv = − v dp.γ p dv + v dp = 0.Dividindo as parcelas por pv para separar as variáveis e integrando,
γ dv/v + dp/p = 0.γ ∫ dv/v + ∫ dp/p = C.Resolvendo,
γ ln v + ln p = ln C1. E a solução é p vγ = constante #E.2#.Na forma
y' = f(y/x) #F.1# pode ser usada uma variável auxiliar z = y/x #F.2#.Exemplo:
y' = −(x + y) / x #F.3#.Pode-se escrever
y' = −(1 + y/x) = −(1 + z) = f(z).Desde que
y = x z, tem-se y' = dy/dx = x dz/dx + z dx/dx = z + x dz/dx = f(z).Portanto,
x dz/dx = f(z) − z. De outra forma, dx/x = dz/(f(z) −z)).Substituindo
f(z) por −(1+z),dx/dx = dz/(−1 −z −z) = −dz/(1 + 2z). Integrando, ∫ dx/x = −∫ dz/(1 +2z).Resolvendo,
ln x = −( ln(1+2z) )/2 + (ln C)/2. Rearranjando, 2 ln x + ln(1 +2z) = ln C.Resolvendo os logaritmos,
x2(1 + 2z) = C. Substituindo z por y/x,x2 + 2xy = C ou y = (C−x2) / 2x #F.4#.Na forma linear
dy/dx + y g(x) + h(x) = 0 #G.1#, a solução é dada por:y = −e−G(x) ∫ h(x) eG(x) dx + C e−G(x) #G.2#. Onde G(x) = ∫ g(x) dx #G.3#.Exemplo: no circuito RL da Figura 01, a chave S é fechada em t = 0, aplicando-lhe uma tensão contínua V. Determinar a corrente i(t).
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| Figura 01 |
V = R i + L di/dt #H.1#.di/dt + (R/L) i − (V/L) = 0.Portanto,
g(t) = R/L e h(t) = −V/L.Também
G(t) = ∫ g(t) dt = ∫ (R/L) dt = (R/L) t.
i = −e−(R/L)t ∫−(V/L) e(R/L) t dt + C e−(R/L) t.i = e−(R/L)t (V/L) (L/R) e(R/L)t + C e−(R/L) t = (V/R) + C e−(R/L)t.Desde que para
t = 0, i = 0, tem-se 0 = (V/R) + C. Portanto, C = −(V/R).i = (V/R) − (V/R) e−(R/L)t = (V/R) (1 − e−(R/L)t).i = (V/R) (1 − e−t/(L/R)) #H.2#.O fator (L/R) é a constante de tempo do circuito.
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Referências: BOUCHÉ, Ch; LEITNER, A; SASS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979. Planetmath. http://planetmath.org/. |
SIMMONS, H. A. College Algebra. New York: Macmillan. VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971. |