Algumas curvas e superfícies III

MSPC - Informações Técnicas

Algumas curvas e superfícies III

Hipérbole

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Formada pelos pontos cuja diferença das distâncias em relação a dois pontos fixos é constante. Na Figura 01, para qualquer M na curva, vale:

| MF − MF' | = 2 a#A.1#

Nota-se que, pela definição acima, são duas curvas. Os pontos F e F' são os focos da hipérbole.

Fig 01

Equação da hipérbole (com interseção das assíntotas na origem do sistema de coordenadas):

#A.2#

Distância entre focos:

#A.3#

Inclinação das assíntotas:

#A.4#

Raio de curvatura no vértice:

#A.5#

Se a = b, a hipérbole é dita eqüilátera. Neste caso, α = 45° e as assíntotas são perpendiculares entre si (obs: assíntota é uma reta que é tangente a uma curva no infinito).

Parábola

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Formada pelos pontos eqüidistantes de um determinado ponto e de uma determinada reta. Assim, na Figura 01, para qualquer M na curva vale:

MF = MK#A.1#

O ponto F é denominado foco e a reta d, diretriz da parábola. A distância p entre foco e diretriz é o parâmetro da parábola.

Fig 01

Equação da parábola:

#A.2#

Equação da diretriz:

#A.3#

Raio de curvatura no vértice:

r = p#A.4#

A forma genérica y = ax² + bx + c representa uma parábola qualquer, podendo a origem do sistema de coordenadas ser distinta do vértice.

Tratriz

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É a curva da trajetória de uma extremidade M de um fio inextensível e mantido esticado cuja outra extremidade P se desloca pela reta x, conforme figura abaixo. Esse problema foi proposto em 1693 pelo físico francês Claude Perrot e posteriormente resolvido por Leibniz e Huyghens.

Fig 01

A reta x é a diretriz da curva e qualquer tangente à ela intercepta a diretriz tal que

MP = a = constante#A.1#

Pode-se notar que a curva é simétrica em relação a y e, no vértice A, é tangente a esse eixo. Assim, AO = a. A diretriz x é assíntota à curva. E as equações em função do ângulo α são:

#A.2#

#A.3#

Referências:

GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.

Planetmath. http://planetmath.org/.

VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

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