Algumas curvas e superfícies II

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Algumas curvas e superfícies II

Hélice

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Seja, conforme Figura 01, uma reta vertical V que executa um movimento de rotação uniforme em torno do eixo vertical Z. Portanto, a superfície gerada é um cilindro de raio a e centro Z. Um ponto P que se move com velocidade constante ao longo dessa reta descreve a curva denominada hélice.

Dessa definição, pode-se facilmente deduzir uma forma paramétrica das equações da hélice:

x = a cos t y = a sin t z = b t#A.1#

Fig 01

Analisando essas igualdades,

• x e y têm as equações de um movimento circular uniforme de raio a e velocidade angular 1 (ω t = t e, portanto, ω = 1).

• z tem a equação do movimento uniforme de velocidade b.

A cada rotação completa, o ponto P se desloca verticalmente de uma distância h, denominada passo da hélice.

Se o passo é positivo, o resultado é uma hélice direita conforme figura. Passo negativo forma hélice esquerda.

Desde que ω = 1, o período é igual a 2 π / ω = 2 π. Nesse tempo, o deslocamento vertical deve ser h. Portanto, h = z = b t = b 2 π. Ou b = h / 2 π. Assim, os dados das equações anteriores ficam definidos:

#A.2#

Onde:

a: raio da hélice

#A.3#

h: passo da hélice

Na página Algumas curvas e superfícies I foi vista a fórmula do comprimento de um arco de uma curva genérica:

#B.1#

Aplicando a um passo da hélice (t = 2 π):

#B.2#

#B.3#

#B.4#

Substituindo b e rearranjando, o comprimento de um passo da hélice fica definido em função do raio e do passo:

#B.5#

Nota-se que (2 π a) é o comprimento de uma circunferência de raio a.

Helicóide

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É uma superfície gerada pela curva hélice: cada ponto da helicóide está sobre em uma hélice, por sua vez, contida na helicóide. Ver exemplo na Figura 01 abaixo.

Sejam as equações paramétricas da hélice conforme tópico anterior (substituindo a variável t por v):

x = a cos v y = a sin v z = b v

Se o raio a é substituído por uma variável u, tem-se então uma superfície formada por uma infinita seqüência de hélices de mesmo passo, ou seja, as equações paramétricas da helicóide:

#A.1#

De forma análoga à da hélice de passo h, a constante b é dada por:

#A.2#

Fig 01

Nota-se que, se o passo é nulo, a helicóide se transforma em um plano. Pode-se então dizer que o plano é uma forma degenerada da helicóide.

Desde que a helicóide uma superfície infinita, é evidente que, nas figuras apresentadas, há limites para as variáveis. Na Figura 01 anterior, o limite inferior da variável u é zero e, portanto, a superfície toca o eixo vertical Z. Se o limite inferior de u é um valor a > 0 (e o superior A, mesmo do anterior), ocorre uma superfície segundo Figura 02.

Fig 02

A helicóide tem uma infinidade de aplicações práticas. Aqui é dado o exemplo do transportador.

Um transportador de rosca usa uma superfície do tipo da Figura 02 anterior soldada a um eixo central para transportar por arraste materiais granulados das mais diversas espécies. A Figura 03 dá esquema de um transportador típico.

Fig 03

Em escala industrial, as superfícies são produzidas por deformação a frio, mas é possível a confecção artesanal a partir da chapa plana em forma de anel circular (Figura 04), naturalmente em seções de um passo.

O perímetro da circunferência externa deve conter o comprimento de um passo de hélice de raio A e o perímetro da circunferência interna deve conter o comprimento de um passo de hélice de raio a.

Superfície para um passo do transportador

Fig 04

Usando a fórmula vista no tópico anterior,

s_A = √ [ (2 π A)² + h² ]#B.1#

s_a = √ [ (2 π a)² + h² ]#B.2#

A espessura (e) do anel deve ser igual à diferença entre raios:

e = R − r = A − a

Da relação de arcos e ângulos,

s_A / R = s_a / r
s_a R = s_A r

Da relação anterior, R = e + r. Substituindo,

s_a (e + r) = s_A r
s_ae + s_a r = s_A r
r (s_A − s_a) = s_a e

Portanto,

#B.3#

Onde:

#B.4#

#B.5#

#B.6#

Também,

#B.7#

#B.8#

Capacidade do transportador: a cada volta do eixo, um passo da superfície é deslocado. Assim, o volume deslocado é π A² h. Despreza-se o diâmetro do eixo porque se considera um grau de enchimento φ (de 0,15 para material pesado com muito atrito até 0,45 para material leve com pouco atrito).

Se n é a rotação do eixo em rpm, por hora ocorre 60 n. Assim, a capacidade do transportador em metros cúbicos por hora é dada por:

Q = π A² h φ 60 n#C.1#

Onde A e h são dados em metros.

Potência de acionamento: se o peso específico do material é γ em N/m³ (newton por metro cúbico), a vazão em peso é G = Q γ / 3600 em newton por segundo (N / s). Considerando um coeficiente de resistência f de 2 a 4, a potência em watts é

P = G L f#D.1#

Onde L é o comprimento do transportador em metros (considerado na posição horizontal).

Referências:

GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.

Planetmath. http://planetmath.org/.

VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

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