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ALGUMAS CURVAS E SUPERFÍCIES I | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Alguns conceitos sobre curvas | Catenária | Elipse | Espiral de Arquimedes | Exponencial |




I) ALGUNS CONCEITOS SOBRE CURVAS | Topo | Fim pág

Seja, conforme Figura I-1, uma curva genérica A e um ponto P em A, que se desloca até P'. As respectivas tangentes à curva nesses pontos (P e P') fazem um ângulo α entre si.

A curvatura K de A em P é dada pela situação limite:

$$K = \frac{d\alpha}{dL} \tag{1A}$$
Onde L é o comprimento do arco PP' (não a distância reta entre os pontos).

Para um círculo de raio r,

$$K = 1/r \tag{1B}$$
Raio de Curvatura
Fig I-1

O raio de curvatura é o segmento PC ao longo da normal N tal que:

$$PC = R = \frac{1}{K} \tag{1C}$$
O ponto C é o centro de curvatura relativo ao ponto P. Para uma reta (ou ponto de inflexão de uma curva), a curvatura é nula e o raio de curvatura é infinito.

Evoluta de uma curva genérica é a curva formada pelos seus centros de curvatura. As tangentes a uma evoluta são normais à curva original. No exemplo da Figura I-2, A é uma parábola e E é a sua evoluta.

Exemplo de Evoluta
Fig I-2


Seja a tangente T no ponto P de uma curva genérica B, conforme Figura I-3. Se essa reta tangente rola sobre a curva sem deslizar, a curva gerada por um ponto M em T é chamada involuta ou evolvente.

O número de evolventes é ilimitado porque qualquer ponto em T (M, M', M'', ...) pode gerar uma. A curva B é a evoluta de qualquer involuta gerada.

Exemplo de Evolvente
Fig I-3


Comprimento de uma curva

Na Figura I-4, Δc é o comprimento da reta entre P e Q, e Δℓ é o comprimento da curva entre esses pontos. Da relação trigonométrica, Δc2 = Δx2 + Δy2

De outra forma: Δc / Δx = [1 + (Δy/Δx)2]1/2

Multiplicando e dividindo a relação Δℓ / Δx por Δc,

Δℓ / Δx = (Δℓ / Δc) (Δc / Δx)

Portanto, Δℓ / Δx = (Δℓ / Δc) [1 + (Δy/Δx)2]1/2

Na situação limite, (Δℓ / Δc) → 1. Assim,

limΔx→0 (Δℓ / Δx) = dℓ/dx = [1 + (dy/dx)2]1/2

Comprimento de uma Curva
Fig I-4

Reagrupando, dℓ = [1 + (dy/dx)2]1/2 dx. E o comprimento da curva entre dois pontos genéricos A e B é dado pela integral:

$$\ell_{AB} = \int_{x_A}^{x_B} \Big[1 + \Big(\frac{dy}{dx}\Big)^2 \Big]^{1/2} dx \tag{1D}$$
Onde xA e xB são os valores de x nesses pontos.

A fórmula anterior pode ser generalizada para f(x, y, z) = 0, isto é, uma curva no espaço:

$$\ell_{AB} = \int_A^B \big[(dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 \big]^{1/2} \tag{1E}$$
Se usadas as equações paramétricas da curva, pode-se multiplicar e dividir por dt:

$$\ell_{AB} = \int_A^B \Big[\Big(\frac{dx}{dt}\Big)^2 + \Big(\frac{dy}{dt}\Big)^2 + \Big(\frac{dz}{dt}\Big)^2 \Big]^{1/2} dt \tag{1F}$$

II) CATENÁRIA | Topo | Fim pág

É a curva formada por um fio homogêneo e inextensível, suspenso entre dois pontos e sujeito somente à ação do seu peso próprio. A equação da catenária, na forma da figura abaixo, é dada por:

$$y = c \cosh \Big( \frac{x}{c} \Big) \tag{2A}$$
Obs: cosh, cosseno hiperbólico, é definido como: cosh x = (ex + e−x)/2

O termo c, ordenada do ponto mais baixo C, é denominado parâmetro.

Catenária
Fig II-1

O comprimento do arco s entre C e um ponto genérico (x,y) é dado por:

$$s^2 = y^2 - c^2 \tag{2B}$$
Considerando w o peso por unidade de comprimento (ex: N/m) do cabo, o esforço longitudinal F em um ponto genérico (x,y) é dado por:

$$F = w \ y \tag{2C}$$
Exemplo: sejam dados o peso por comprimento w, a distância d e a flecha f. Assim,

xB = d/2
yB = c + f

Conforme equação da curva,

$$c + f = c \cosh \Big( \frac{d}{2c} \Big) \tag{2D}$$
Desde que d e f são conhecidos, pode-se calcular c. Mas essa equação não tem solução direta. Só pode ser resolvida através da arbitragem de um valor inicial para c e posteriores aproximações sucessivas. Uma vez determinado c, os demais valores podem ser calculados.


III) ELIPSE | Topo | Fim pág

É a curva formada pelos pontos cuja soma das distâncias até outros dois é constante. Assim, na figura abaixo, para qualquer M na curva, vale:

$$MF + MF' = 2a \tag{3A}$$
Os pontos F e F' são denominados focos da elipse. A distância entre os dois vértices ao longo do eixo horizontal, 2a, é denominada eixo maior e, na vertical, 2b, eixo menor (analogamente, a metade, a e b, são os semi-seixos maior e menor).

Elipse
Fig III-1

A equação da elipse é dada por:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \tag{3B}$$
Distância entre focos:

$$d = \sqrt{a^2 - b^2} \tag{3C}$$
Raios de curvatura nos vértices:

$$r = b^2/a \ \ \Big\vert \ \ r'= a^2/b \tag{3D}$$
Área:

$$S = \pi \ a \ b \tag{3E}$$
Perímetro:

$$P = \pi(a+b)\big(1+\frac{k^2}{4}+\frac{k^4}{64}+\cdots \big) \approx \pi(a+b) \ \mathrm{onde} \ k = (a-b)/(a+b) \tag{3F}$$
O círculo é um caso particular da elipse, onde a = b = r (raio). Assim, k = 0, área S = π r2 e perímetro P = 2 π r.


IV) ESPIRAL DE ARQUIMEDES | Topo | Fim pág

É assim denominada por ter sido Arquimedes (300 AC) o primeiro a estudá-la. Fisicamente pode ser descrita como o lugar geométrico dos pontos P de uma reta que gira em torno do centro O com velocidade angular constante e o ponto P se desloca, sobre a reta e a partir de O, com velocidade constante em relação a essa reta.

Espiral de Arquimedes
Fig IV-1

Matematicamente pode ser definida em coordenadas polares. Seja ρ = OP. Então a distância ρ é proporcional ao ângulo deslocado:

$$\rho = k \ \phi \tag{4A}$$
Onde k é o parâmetro da espiral de Arquimedes.


V) EXPONENCIAL | Topo | Fim pág

A curva é resultante da função exponencial y = ax, onde a é um número real maior que zero. Independente de a, ela sempre passa pelo ponto (x=0, y=1).

Curva Exponencial
Fig V-1

Essa curva é aqui apresentada por uma curiosidade: seja α o ângulo que a tangente à curva faz com a horizontal no referido ponto. Se tan α = 1, isto é, α = 45°, então a é o número e.

Referências:

GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Planetmath. http://planetmath.org/.

VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Dez/2007