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Algumas curvas e superfícies




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Alguns conceitos sobre curvas |
Catenária |
Elipse |
Espiral de Arquimedes |
Exponencial |

Obs: os traçados apresentados são aproximados, não devendo ser usados para outros fins que não sejam meramente ilustrativos.


Alguns conceitos sobre curvas

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Seja, conforme Figura 01, uma curva genérica A e um ponto P em A, que se desloca até P'. As respectivas tangentes à curva nesses pontos (P e P') fazem um ângulo α entre si.

A curvatura K de A em P é dada pela situação limite:

#A.1#

Onde PP' é o comprimento do arco e não a distância reta entre os pontos.

Para o círculo de raio r,

#A.2#

Raio de curvatura
Fig 01

O raio de curvatura é o segmento PC ao longo da normal N tal que:

#A.3#

O ponto C é o centro de curvatura relativo ao ponto P. Para uma reta (ou ponto de inflexão de uma curva), a curvatura é nula e o raio de curvatura é infinito.


Evoluta de uma curva genérica é a curva formada pelos seus centros de curvatura. As tangentes a uma evoluta são normais à curva original.

No exemplo da Figura 02, A é uma parábola e E é a sua evoluta.

Exemplo de evoluta
Fig 02


Seja a tangente T no ponto P de uma curva genérica B, conforme Figura 03. Se essa reta tangente rola sobre a curva sem deslizar, a curva gerada por um ponto M em T é chamada involuta ou evolvente.

O número de evolventes é ilimitado porque qualquer ponto em T (M, M', M'', ...) pode gerar uma.

A curva B é a evoluta de qualquer involuta gerada.

Exemplo de evolvente
Fig 03


Comprimento de uma curva

Na Figura 04, Δc é o comprimento da reta entre P e Q, e Δℓ é o comprimento da curva entre esses pontos. Da relação trigonométrica,

Δc2 = Δx2 + Δy2

De outra forma: Δc / Δx = [1 + (Δy/Δx)2]1/2

Multiplicando e dividindo a relação Δℓ / Δx por Δc:

Δℓ / Δx = (Δℓ / Δc) (Δc / Δx)

Portanto: Δℓ / Δx = (Δℓ / Δc) [1 + (Δy/Δx)2]1/2

Na situação limite: (Δℓ / Δc) → 1. Assim:

limΔx→0 (Δℓ / Δx) = dℓ/dx = [1 + (dy/dx)2]1/2

Comprimento de uma curva
Fig 04

Reagrupando:

dℓ = [1 + (dy/dx)2]1/2 dx

E o comprimento da curva entre dois pontos genéricos A e B é dado pela integral:

#B.1#

Onde xA e xB são os valores de x nesses pontos.

A fórmula anterior pode ser generalizada para f(x, y, z) = 0, isto é, uma curva no espaço:

#B.2#

Se usadas as equações paramétricas da curva, pode-se multiplicar e dividir por dt:

#B.3#



Catenária

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É a curva formada por um fio homogêneo e inextensível, suspenso entre dois pontos e sujeito somente à ação do seu peso próprio. A equação da catenária, na forma da figura abaixo, é dada por:

#A.1#

Obs: cosh, co-seno hiperbólico, é definido como: cosh x = (ex + e−x)/2

O termo c, ordenada do ponto mais baixo C, é denominado parâmetro.

Catenária
Fig 01

O comprimento do arco s entre C e um ponto genérico (x,y) é dado por:

s2 = y2 − c2#A.2#

Considerando w o peso por unidade de comprimento (ex: N/m) do cabo, o esforço longitudinal F em um ponto genérico (x,y) é dado por:

F = w y#B.1#

Exemplo: sejam dados o peso por comprimento w, a distância d e a flecha f. Assim,

xB = d/2
yB = c + f

Conforme equação da curva,



Desde que d e f são conhecidos, pode-se calcular c. Mas essa equação não tem solução direta. Só pode ser resolvida através da arbitragem de um valor inicial para c e posteriores aproximações sucessivas. Uma vez determinado c, os demais valores podem ser calculados.



Elipse

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É a curva formada pelos pontos cuja soma das distâncias até outros dois é constante. Assim, na figura abaixo, para qualquer M na curva, vale:

MF + MF' = constante = 2a#A.1#

Os pontos F e F' são denominados focos da elipse. A distância entre os dois vértices ao longo do eixo horizontal, 2a, é dita eixo maior e, na vertical, 2b, eixo menor (analogamente, a metade, a e b, são os semi-seixos maior e menor).

Elipse
Fig 01

A equação da elipse é dada por:

#A.2#

Distância entre focos:

#A.3#

Raios de curvatura nos vértices:

#A.4#

Área:

S = π a b#A.5#

Perímetro:

#A.6#

Onde:



O círculo é um caso particular da elipse, onde a = b = r (raio). Assim, k = 0 e

S = π r2
P = 2 π r



Espiral de Arquimedes

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É assim denominada por ter sido Arquimedes (300 AC) o primeiro a estudá-la. Fisicamente pode ser descrita como o lugar geométrico dos pontos P de uma reta que gira em torno do centro O com velocidade angular constante e o ponto P se desloca, sobre a reta e a partir de O, com velocidade constante em relação a essa reta.

Espiral de Arquimedes
Fig 01

Matematicamente pode ser definida em coordenadas polares. Seja ρ = OP. Então a distância ρ é proporcional ao ângulo deslocado:

ρ = k φ#A.1#

Onde k é o parâmetro da espiral de Arquimedes.



Exponencial

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Esta curva, resultante da função exponencial y = ax, onde a é um número real maior que zero, é apresentada aqui apenas por uma curiosidade.

Curva exponencial
Fig 01

Independente de a, ela sempre passa pelo ponto (x=0, y=1).

Seja α o ângulo que a tangente à curva faz com a horizontal no referido ponto. Se tan α = 1, isto é, α = 45°, então a é o número e.

Referências:

GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Planetmath. http://planetmath.org/.

VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

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