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Transformações lineares - Alguns conceitos básicos Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Conceito | Exemplos de transformações lineares | Transformações lineares e matrizes |

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Conceito

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Também denominada mapeamento, transformação linear é uma função cujo domínio está em um espaço linear (espaço vetorial) e cujos resultados (ou valores) estão em outro espaço linear. Considerando V o espaço do domínio e W o espaço dos valores, a representação simbólica de uma transformação T é:

T: V → W #A.1#.

Se x é um elemento genérico em V, diz-se que T(x) é a imagem de x sob T. Se X é um subespaço qualquer de V, diz-se também que T(X) é a imagem de X sob T.

Entretanto, os conceitos acima não são suficientes para caracterizar uma transformação linear. São necessárias ainda duas propriedades básicas:

T(x + y) = T(x) + T(y) #B.1#.

T(a x) = a T(x) #B.2#.

Essas igualdades podem ser combinadas em uma ou, de forma mais genérica, ser expressas em termos de somatórios.

T(ax + by) = a T(x) + b T(y) #C.1#.

T(∑i=1...n ai xi) = ∑i=1...n ai T(xi) #C.2#.

Nas igualdades acima x, y e x_i são elementos em V e a, b e a_i são escalares.

Exemplos de transformações lineares

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A multiplicação por um escalar é uma transformação para o mesmo espaço, pois faz parte de um dos postulados básicos dos espaços lineares. Portanto,

Se T(x) = a x #A.1#, a transformação é do tipo T: V → V.


A transformação unitária é a anterior com a = 1, ou seja,

T: V → V onde T(x) = x #B.1#. Pode ser indicada por I ou I_V.


A transformação nula é dada com a = 0. Portanto,

T: V → V onde T(x) = 0 #C.1#. Pode ser indicada por 0.


Equações lineares: seja V um espaço vetorial de n dimensões (V = Vn) e W um espaço vetorial de m dimensões (W = Vm). Seja aik um conjunto de m x n números reais onde 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ k ≤ n. Então o conjunto de equações

yi = ∑k=1...n aik xk para i = 1 até m (#D.1#) é uma transformação

T: V_n → V_m que faz o mapeamento de cada vetor x{x1 ... xn} em V_n no vetor y{y1 ... ym} em V_m.

Transformações lineares e matrizes

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Seja a transformação T: V → W, onde V é um espaço de dimensões finitas n e W um espaço de dimensões finitas m. Assim, cada vetor em V pode ser representado pelos elementos de uma base { v1, v2 ... vn }. E cada vetor em W pode ser representado em termos de uma base { w1, w2 ... wm }.

A =  a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n . . . . . . am1 am2 ... amn

Figura 01

É possível demonstrar que essa transformação linear pode ser, de forma conveniente, representada por uma matriz m x n (m linhas e n colunas) conforme Figura 01 ao lado. Cada linha da matriz é um componente do elemento transformado em W. Ver exemplos a seguir.

Seja a matriz 2 x3 da Figura 02. Há, portanto, a transformação de um espaço de vetores em 3 dimensões (V₃) para vetores em 2 dimensões (V₂). Ou seja, uma transformação T: V3 → V2 tal que cada vetor { x1, x2, x3 } em V₃ é mapeado para um vetor { y1, y2 } em V₂ segundo as equações:

3 2 1 4 0 5

Figura 02

y1 = 3 x1 + 2 x2 + 1 x3

Y2 = 4 x1 + 0 x2 + 5 x3

Os exemplos seguintes são casos particulares comuns de transformações em espaços bidimensionais, isto é, T: V₂ → V₂.

A =   3 0 0 3    B =   1 0 0 −1

Figura 03

A: ampliação de 3 em todas as direções.

B: reflexão contra o eixo x.

C =   0 0 0 1    D =   2 0 0 1/2

Figura 04

C: projeção no eixo y.

D: compressão de fator 2.

E =   0 −1 1 0    F =   0 1 −1 0

Figura 05

E: rotação 90º anti-horária.

F: rotação 90º horária.

Notar que, nos casos particulares acima, x e y se referem a coordenadas no primeiro espaço, isto é, equivalentes a x₁ e x₂ do exemplo da Figura 02.


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Referências: APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.

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