Autovalores e autovetores

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Autovalores e autovetores

Introdução / definição

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Autovalores e autovetores são conceitos importantes de matemática, com aplicações práticas em áreas diversificadas como mecânica quântica, processamento de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, estatística, etc (na língua inglesa, os termos usuais são eigenvalue e eigenvector. Nesses nomes, há uma combinação de idiomas, pois o prefixo eigen é alemão, significando próprio, característico).

Graficamente a idéia básica pode ser vista de uma forma bastante simples. Seja uma imagem formada por um retângulo com 2 vetores segundo (a) da Figura 01. Essa imagem sofre uma ampliação (transformação) apenas na horizontal, resultando no retângulo (b). Nessa condição, o vetor v₂ passou a v₂', que não tem a mesma direção do original v₂. Portanto, o vetor v₂' não pode ser representado por v₂ multiplicado por um escalar.

Mas o vetor v₁' tem a mesma direção de v₁ e, por isso, pode ser representado por v₁ multiplicado por um escalar. Diz-se então que v₁ é um autovetor da transformação e que esse escalar é um autovalor associado.

Demonstração prática de autovalor e autovetor

Fig 01

Na definição matemática, consideram-se transformações lineares:

T:V → V, onde V é um espaço vetorial qualquer.

Um vetor não nulo v em V é dito um autovetor de T se existe um número real λ tal que

T(v) = λ v #A.1#

O escalar λ é denominado um autovalor de T associado a v. Pode-se concluir que v e T(v) são paralelos.

Alguns exemplos

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Seja uma transformação que faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal em um espaço bidimensional real. Em termos de coordenadas essa transformação é escrita na forma:

T(x, y) = (x, −y) #A.1#

No exemplo da Figura 01, são indicados os vetores

a = (2, 0).
b = (0, 1).
c = (−2, 1).

Fig 01

Então a é um autovetor de autovalor 1 porque

T(a) = (2, 0) = a

Também b é um autovetor de autovalor −1 porque T(b) = (0, −1) = − b.

Mas c não é autovetor porque T(c) = (−2, −1) não é paralelo a c.

Observa-se que 1 e −1 são os autovalores da transformação e são associados a quaisquer vetores nas formas (x, 0) e (0, y) respectivamente.

Seja agora uma transformação que gira de 90º para esquerda.

T(x, y) = (−y, x) #B.1#

Fig 02

Essa transformação não admite autovetores nem autovalores reais. Qualquer T(a) é perpendicular a a e, portanto, não pode existir um número real que, multiplicado por a, resulte em T(a). Ver Figura 02.

Cálculo de autovalores e autovetores

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Seja A a matriz da transformação T:V → V. A matriz A deve ser, portanto, uma matriz quadrada (n x n). Conforme já visto, para um autovalor λ e um autovetor v,

T(v) = λ v. De outra forma,

A v = λ v #A.1#

Considerando I a matriz unitária (ou matriz identidade), pode-se escrever λ v = λ I v. Substituindo na anterior e reagrupando,

λ I v − A v = 0. De outra forma,

(λ I − A) v = 0 #B.1#

Seja a função:

f(λ) = det (λ I − A) #C.1#

Ela é denominada função característica da matriz A.

Para solução não nula de #B.1#, deve-se ter o determinante nulo:

det (λ I − A) = 0 #D.1#

Resolvendo a equação acima, obtém-se os valores de λ que, substituídos em #A.1#, permitem a determinação dos autovetores.

Exemplo: são dados:

• matriz 3x3 A, para a qual se deseja calcular os autovalores.

• λ I, que é o produto do escalar λ pela matriz unitária I 3x3.

Matrizes para autovalores

A matriz da diferença λ I − A é

O seu determinante é calculado pelas relações a seguir.

det (λ I − A) = (λ − 2) [ (λ − 3) (λ + 2) − (1) (−4) ] − (−1) [ (−2) (λ + 2) − (1) (−4) ] + (−1) [ (−2) (1) − (1) (λ − 3) ].

det (λ I − A) = [ (λ − 2) (λ − 3) (λ + 2) + 4λ − 8 ] + [−2λ ] − [−λ − 1].

det (λ I − A) = (λ − 2) (λ − 3) (λ + 2) + 3 (λ − 3).

det (λ I − A) = (λ − 3) [ (λ − 2) (λ + 2) + 3 ].

det (λ I − A) = (λ − 3) [ λ² − 4 + 3 ] = (λ − 3) [ λ² − 1 ].

Expandindo o último termo e igualando a zero conforme #D.1#,

det (λ I − A) = (λ − 3) (λ + 1) (λ − 1) = 0.

As soluções dessa equação do terceiro grau são claramente:

λ =  1
λ = −1
λ =  3

Aplica-se agora a igualdade #A.1# para o valor de λ = 1.

Matrizes para cálculo de autovetores

Essa relação matricial pode ser transformada em um sistema de equações lineares através do desenvolvimento do produto das matrizes e posterior simplificação.

Equações lineares para autovalores

Somando a primeira com a terceira equação, v₃ = 0. Substituindo nas demais, chega-se ao resultado

v₁ + v₂ = 0

Ou

v₁ = − v₂

Há infinitas soluções e pode-se dizer que o vetor é dado por v = α (1, −1, 0) onde α é um escalar não nulo qualquer. Portanto, para o autovalor λ = 1, os autovetores são da forma:

α (1, −1, 0) com α ≠ 0.

Procedimento idêntico pode ser usado para os demais valores de λ.

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Referências:

APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.

Planetmath. http://planetmath.org/.

VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.