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Probabilidades e estatística : Tábua de mortalidade
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Modelo |
Tabela de mortalidade |
O propósito desta página é apenas mostrar algumas aplicações de conceitos básicos de probabilidades e estatística na área atuarial, isto é, a parte da matemática que trata de aspectos relacionados a seguros e similares.
Modelo
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Seja T(x) uma variável aleatória que indica o tempo de vida futura de uma pessoa com idade x. Então, a probabilidade de essa pessoa viver até a idade t é dada pela função de distribuição:
Fx(t) = P( T(x) ≤ t )#A.1#
A função de sobrevivência, Sx(t), é a probabilidade de viver além da idade t. Deve ser o complemento da anterior:
Sx(t) = P( T(x) > t ) = 1 − Fx(t)#A.2#
Um caso particular importante é para x = 0, isto é, uma pessoa recém-nascida. Assim, o tempo T(0) refere-se ao tempo total de vida da pessoa.
Exemplo: determinar a probabilidade de uma pessoa viver entre 65 e 75 anos supondo F0(t) = 1 − e−0,008 t.
Solução: deve ser aplicada uma das propriedades da função de distribuição, vistas em página anterior:
P( 65 ≤ T(0) < 75 ) = F0(75) − F0(65) = 1 − e−0,008 75 − (1 − e−0,008 65) = e−0,52 − e−0,6 ≈ 0,046
Para T(x) ≤ t, deve-se ter T(0) ≤ x + t e também T(0) > x. Assim, pode-se usar o conceito de probabilidade condicional para relacionar as fórmulas:
Fx(t) = P( T(x) ≤ t ) = P( T(0) ≤ x + t | T(0) > x )
Fx(t) = P( x < T(0) ≤ x + t ) / P( T(0) > x )#B.1#
Portanto,
#C.1#
Procedimento similar pode ser usado para a função de sobrevivência e o resultado é
#D.1#
De outra forma,
#D.2#
Fig 01
A Figura 01 dá uma interpretação gráfica da relação anterior.
Notação atuarial
Em matemática atuarial os parâmetros abaixo relacionados são usuais, lembrando que a notação (x) significa uma pessoa com idade x.
• Probabilidade de (x) sobreviver pelo menos t anos:
tpx = Sx(t) = P( T(x) > t )#E.1#
• Probabilidade de (x) morrer durante os t anos seguintes:
tqx = Fx(t) = P( T(x) ≤ t )#E.2#
Dos conceitos de probabilidade, pode-se concluir que
tpx + tqx = 1#E.3#
No caso particular de t = 1, o seu valor é usualmente omitido na notação. Assim,
• Probabilidade de (x) sobreviver pelo menos 1 ano:
px = Sx(1) = P( T(x) > 1 )#F.1#
• Probabilidade de (x) morrer durante o ano seguinte:
qx = Fx(1) = P( T(x) ≤ 1 )#F.2#
A fórmula seguinte é decorrente da igualdade #C.3#:
x+tp0 = xp0 tpx#G.1#
Tabela de mortalidade
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Seja uma idade inicial α (em vários casos, α = 0) e um número inicial arbitrário (raiz) ℓα de pessoas sobreviventes para essa idade. Para x ≥ α, o número ℓx é definido por:
ℓx = x−αpα ℓα#A.1#
Da igualdade #G.1# do tópico anterior (com α no lugar do 0),
x−α+tpα = x−αpα tpx
Multiplicando ambos os lados por ℓα, obtém-se:
x−α+tpα ℓα = x−αpα ℓα tpx
Portanto,
ℓx+t = ℓx tpx#A.2.1#
De outra forma,
#A.2.2#
De #E.3# do tópico anterior,
tqx = 1 − tpx#A.3#
Na maioria dos casos, é estabelecida uma idade-limite ω, a partir da qual não há sobrevivência. Portanto,
tpx = 0 para t ≥ ω − x#A.4#
ℓu = 0 para u ≥ ω#A.5#
Exemplo 01: montar uma tabela para ℓ20 = 100000 p20 = 0,98 2p20 = 0,95 3p20 = 0,91.
Solução: segundo #A.2#,
ℓ21 = ℓ20 p20 = 100000 0,98 = 98000
ℓ22 = ℓ20 2p20 = 100000 0,95 = 95000
ℓ23 = ℓ20 3p20 = 100000 0,91 = 91000
Os valores acima são organizados na tabela a seguir.
Tabela 01
| x |
ℓx |
dx |
| 20 |
100000 |
2000 |
| 21 |
98000 |
3000 |
| 22 |
95000 |
4000 |
| 23 |
91000 |
|
O parâmetro dx é definido como:
dx = ℓx − ℓx+1#B.1#
Considerando #A.2# e #E.3# do tópico anterior, chega-se a:
dx = ℓx (1 − px) = ℓx qx#B.2#
Para o exemplo anterior,
d20 = 100000 − 98000 = 2000
d21 = 98000 − 95000 = 3000
d22 = 95000 − 91000 = 4000
Esses valores estão indicados na Tabela 01. Portanto, os parâmetros anteriores podem ser assim definidos:
ℓx: número de sobreviventes na idade x.
dx: número de indivíduos, entre os ℓx sobreviventes, que morrem até a idade x + 1.
A seguir, informações resumidas sobre outros parâmetros comuns das tabelas.
Tempo vivido das ℓx pessoas do ano x para x + 1:
#D.1#
Tempo total de vida futura ou quantidade de existência das ℓx pessoas:
Kx = Lx + Lx+1 + Lx+2 + ...#E.1#
Taxa central de mortalidade:
#F.1#
Esperança completa de vida:
#G.1#
Tabela 02
| (a) |
(b) |
(c) |
(d) |
(e) |
(f) |
(g) |
(h) |
| x |
ℓx |
dx |
px |
qx |
Lx |
Kx |
oex |
| 0 |
100000 |
577 |
0,99423 |
0,00577 |
99497 |
8089412 |
80,89 |
| 1 |
99423 |
45 |
0,99955 |
0,00045 |
99399 |
7989915 |
80,36 |
| 2 |
99378 |
30 |
0,99970 |
0,00030 |
99363 |
7890516 |
79,40 |
| 3 |
99348 |
24 |
0,99976 |
0,00024 |
99336 |
7791153 |
78,42 |
| 4 |
99324 |
18 |
0,99982 |
0,00018 |
99314 |
7691817 |
77,44 |
| 5 |
99306 |
14 |
0,99986 |
0,00014 |
99300 |
7592503 |
76,46 |
| 6 |
99292 |
13 |
0,99987 |
0,00013 |
99285 |
7493203 |
75,47 |
| 7 |
99279 |
12 |
0,99988 |
0,00012 |
99273 |
7393918 |
74,48 |
| 8 |
99267 |
11 |
0,99989 |
0,00011 |
99262 |
7294645 |
73,48 |
| 9 |
99256 |
11 |
0,99989 |
0,00011 |
99250 |
7195383 |
72,49 |
| 10 |
99245 |
13 |
0,99988 |
0,00012 |
99238 |
7096133 |
71,50 |
| 11 |
99232 |
11 |
0,99988 |
0,00012 |
99227 |
6966895 |
70,51 |
| 12 |
99221 |
16 |
0,99984 |
0,00016 |
99213 |
6897668 |
69,52 |
| 13 |
99205 |
19 |
0,99981 |
0,00019 |
99196 |
6798455 |
68,53 |
| 14 |
99186 |
23 |
0,99977 |
0,00023 |
99175 |
6699259 |
67,54 |
Exemplo 02: a partir dos dados da Tabela 02, determinar:
• A probabilidade de um recém-nascido sobreviver aos 8 anos: deve ser dada por S0(8) ou 8p0 na notação atuarial. Conforme #A.2#,
8p0 = ℓ8 / ℓ0 = 99267 / 100000 = 0,99267
• A probabilidade de um recém-nascido morrer entre 8 e 9 anos: deve ser igual à probabilidade de sobreviver aos 8 anos (8p0) multiplicada pela de morrer durante o próximo (q8). Considerando #A.2# e #B.2#,
8p0 . q8 = (ℓ8 / ℓ0) (d8 / ℓ8) = d8 / ℓ0 = 11 / 100000 = 0,00011
• A probabilidade de uma pessoa de 8 anos sobreviver aos 11 anos: dever ser 3p8, que, segundo #A.2#, é calculado por:
3p8 = ℓ8+3 / ℓ8 = 99232 / 99267 ≈ 0,99965
• A probabilidade de uma pessoa de 8 anos morrer entre 11 e 13 anos: deve ser igual à probabilidade de sobreviver aos 11 anos (3p8) multiplicada pela de, aos 11, morrer nos próximos 2 anos (2q11 ou 1 − 2p11). Portanto,
(ℓ11 / ℓ8)(1 − ℓ13 / ℓ11) = (ℓ11 − ℓ13)/ℓ8 = (99232 − 99205)/99267 ≈ 0,00027
Referências:
LONDON, Dick. Survival Models and Their Estimation.
|
Planetmath.
VEEH, Jerry Alan. Lecture Notes on Actuarial Mathematics.
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