MSPC    Informações técnicas | Mapa | Fim pág |

 

Fluidos 08-30 : Escoamentos compressíveis Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Escoamento isentrópico de um gás ideal (cont) | Escoamento isentrópico em bocal |

Índices Ciência dos materiais Eletricidade e eletromagnetismo Eletrônica digital Eletrônica em geral Fluidos, calor, frio, etc Informática Matemática Mecânica teórica Resistência dos materiais Temas técnicos diversos Temas diversos Termodinâmica / transmissão de calor

---

Escoamento isentrópico de um gás ideal (cont)

  | Topo pág | Fim pág |

Em página anterior foi vista a relação entre a pressão p em um determinado ponto e a pressão de estagnação p_T, que é invariável no escoamento isentrópico:

#A.1#

A expansão binomial dessa expressão resulta em:

pT / p = 1 + [ χ Ma2 / 2 ] [ 1 + Ma2 / 4 + Ma4 / 8 + ... ]

Para pequenos valores do número de Mach M_a, pode-se considerar:

pT / p ≈ 1 + χ Ma2 / 2. Fazendo pT = p + Δp, tem-se

1 + Δp / p ≈ 1 + χ Ma2 / 2. Portanto, Δp / p ≈ χ Ma2 / 2

Considera-se que:

Velocidade do som é √(χ R T)
Número de Mach é a razão entre a velocidade do escoamento e a do som, Ma = c / √(χ R T) ou

Ma2 = c2 / (χ R T). Substituindo na anterior,

Δp / p ≈ (1/2) c2 / (R T). Mas, para o gás ideal, pv = RT ou p / ρ = RT. Substituindo, chega-se a

Δp ≈ (1/2) c2 ρ  #B.1#

O resultado significa que, para pequenas velocidades, há uma aproximação com o escoamento de líquidos (incompressível) calculado pela equação de Bernoulli.

Figura 01

Exemplo 01: conforme Figura 01, um tubo de Pitot é usado para medir um fluxo de ar (x = 1,4) a 20ºC, resultando em p₁ = 105 kPa e p₂ = 125 kPa. Determinar a velocidade c do escoamento.

Usa-se a fórmula #A.1# porque não se conhece o número de Mach. Tem-se p_T = p₂ e p = p₁.

125 / 105 = [ 1 + (1,4 − 1) Ma2 / 2 ]1,4 / (1,4 − 1). Resolvendo, Ma ≈ 0,505

A temperatura absoluta é T ≈ 273 + 20 = 293 K
Para o ar, a constante do gás é R ≈ 287 J/(kg K)

Então a velocidade do som é √(x R T) = √(1,4 287 293) ≈ 343 m/s

Portanto, Ma = 0,505 = c / 343. Resolvendo, c ≈ 173 m/s

Escoamento isentrópico em bocal

  | Topo pág | Fim pág |

Seja, de acordo com Figura 01 abaixo, um bocal convergente e divergente pelo qual escoa, de forma isentrópica, um gás ideal. Considera-se um volume de controle genérico de área transversal A sujeito a variações infinitesimais de condições físicas (temperatura, massa específica, etc) conforme indicado.

Já visto que a velocidade do som em um gás ideal é

cs = √(x R T)  #A.1#, onde x é a relação c_p/c_v (calor específico com pressão constante e com volume constante), R é a constante do gás e T é a temperatura absoluta.

Considerando também o processo adiabático, segundo a Termodinâmica,

p vx = k (constante)  #B.1#. Onde p é pressão, v é volume específico.

Desde que v = 1 / ρ #B.2#, onde ρ é massa específica, p = k ρx

Derivando em relação a ρ,

dp / dρ = k x ρx − 1 = x k ρx / ρ = x p / ρ = x p v

De acordo com a equação de estado dos gases ideais p v = R T  #C.1#. Assim,

dp / dρ = x R T e, substituindo em #A.1#, cs2 = dp / dρ  #C.2#.

A equação #C.1# também pode ser escrita p = ρ R T. Diferenciando e dividindo por ρ R T, obtém-se

dp / p = dρ / ρ + dT / T  #C.3#

Para um fluxo estacionário, a equação da conservação da energia é

q - we = Δh + Δ(g z) + Δ(c2 / 2)  #D.1#

Onde q calor trocado, w_e trabalho externo, h entalpia, g aceleração da gravidade, z altura física, c velocidade. Neste caso,

q = we = 0
Δ(g z) = 0

Simplificando e tomando as diferenciais, dh + c dc = 0  #D.2#

A equação da continuidade do fluxo estacionário é dada por:

= constante = ρ A c  #E.1#, onde é fluxo de massa.

Tomando as diferenciais e dividindo tudo por ρ A c, resulta em

dρ / ρ + dA / A + dc / c = 0  #E.2#

Das relações termodinâmicas:

ds = dq / T  #F.1# (s entropia, q calor)
dh = dq + v dp. Também, dh = dq + dp / ρ  #F.2#

Chega-se a T ds = dh − dp / ρ  #F.3#

No processo isentrópico, ds = 0. Substituindo em #F.3# e combinando com #D.2#,

dp / ρ + c dc = 0  #F.4#

Figura 01

Isolando dc da igualdade #E.2# e substituindo em #F.4#,

dp / ρ − c2 (dρ / ρ + dA / A) = 0  #G.1#

Multiplicando numerador e denominador de dρ / ρ por dp e reagrupando,

dρ / ρ = (dρ / dp) (dp / ρ)

Segundo igualdade #C.2#,

(dρ / dp) = 1 / cs2. Assim, dρ / ρ = (1 / cs2) (dp / ρ)

Substituindo em #G.1# e considerando que número de Mach é Ma = c / cs  #H.1#, obtém-se após rearranjo:

#H.2#

Pode-se isolar a pressão:

#H.3#

Nessa igualdade, desde que ρ c² / A só pode ser positivo, o sinal da variação de pressão (dp) depende do número de Mach e do sinal de dA (negativo se convergente e positivo se divergente).

Da relação #F.4#, dp / ρ = − c dc. Substituindo em #H.2# e simplificando, obtém-se outra fórmulação para o escoamento no bocal:

#I.1#

Considerando essas duas últimas igualdades (#H.3# e #I.1#), é possível montar a tabela abaixo para demonstrar as relações permitidas dos diversos parâmetros.

		Ma < 1	Ma > 1
	dA > 0 divergente	dc < 0 dp > 0 (difusor subsônico)	dc > 0 dp < 0 (bocal supersônico)
	dA < 0 convergente	dc > 0 dp < 0 (bocal subsônico)	dc < 0 dp > 0 (difusor supersônico)

Seja agora a situação de bocal convergente e divergente conforme Figura 02.

Figura 02

Se M_a = 1 (escoamento sônico), deve-se ter necessariamente dA = 0 para dc finito, em conformidade com a relação #I.1#.

Portanto, uma transição de subsônico para supersônico só pode ocorrer no estrangulamento, conforme (a) da Figura 02.

Se M_a ≠ 1 no estrangulamento conforme exemplo da Figura 02 (b), deve ocorrer dc = 0 nesse ponto, significando ausência de aceleração e nenhuma transição subsônico / supersônico (o escoamento pode ser subsônico em toda a extensão do bocal).


Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Jun/2008

Melhor visto com 1024x768 px Termos de uso