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Fluidos 08-20 : Escoamentos compressíveis Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Escoamento isentrópico de um gás ideal |

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Escoamento isentrópico de um gás ideal

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Os conceitos de estagnação e número de Mach são bastante úteis na simplificação da análise de escoamentos.

Seja o exemplo genérico de um gás que escoa através de um tubo e troca calor q com o meio externo entre os pontos 1 e 2 conforme Figura 01 deste tópico.

Para um gás ideal, segundo a primeira lei da Termodinâmica aplicada entre 1 e 2:

q12 − we12 = (cp T2 + c22/2) − (cp T1 + c12/2) 

No caso da figura, não há trabalho externo ou w_e = 0. E, substituindo os valores segundo igualdade da página anterior #B.3#,

Figura 01

q12 = hT2 − hT1  #A.1#

Ou seja, o calor trocado entre 1 e 2 é dado em função apenas das condições de estagnação.

Pode-se também concluir que, para q = 0, h_T = constante, isto é, a entalpia de estagnação é constante no escoamento isentrópico.

Considerando a relação entre pressões e temperaturas num processo isentrópico,

pT / p = (TT / T)χ / (χ−1)  #B.1#

Pode-se substituir o valor da temperatura de estagnação e chegar à igualdade termodinâmica #B2# da página anterior:

#C.1#

Tem-se então a pressão em qualquer ponto do escoamento dada em função da pressão de estagnação, no número de Mach e da relação χ (= c_p/c_v).

Figura 02

Considera-se a relação termodinâmica para processo isentrópico:

v1/v2 = ρ2/ρ1 = (T2/T1)1/(χ − 1) 

Onde v é volume específico e ρ é massa específica.

Combinando com as igualdades anteriores, chega-se a:

#D.1#

A Figura 02 exibe curvas aproximadas para as igualdades #B.1# da página anterior e #C.1# deste tópico em função do número de Mach.

Para maior clareza, as relações foram invertidas (ex: p / p_T no lugar de p_T / p). É considerado χ = 1,4 (válido para o ar por exemplo).


Exemplo 01: um reservatório de ar comprimido a 5 MPa e 21ºC está conectado a um tubo por onde o ar escoa a uma vazão de massa de 1 kg/s. Em determinado ponto da tubulação foi medida uma pressão estática de 3 MPa. Considerando nula a velocidade do ar no reservatório e o escoamento isentrópico, determinar, para o ponto mencionado, o número de Mach, a temperatura, a massa específica, a velocidade e a área da seção transversal.

Sendo a velocidade no reservatório nula, as condições de estagnação são as condições informadas acima. Se o escoamento é isentrópico, essas condições são mantidas, ou seja,

pT = 5 MPa
TT ≈ 273 + 21 = 294 K
No ponto mencionado, p / pT = 3 / 5 = 0,6
Para o ar, χ = 1,4
Usando o gráfico da Figura 02 ou a igualdade #B.1#, determina-se Ma ≈ 0,89

Do mesmo gráfico ou da igualdade #B.1# da página anterior, T / TT ≈ 0,86. Ou

T ≈ 0,86 × 294 ≈ 253 K

Segundo a equação dos gases ideais, pv = RgásT

A constante universal é R ≈ 8,31447 J/(K mol)
Para o ar, massa molar 0,029 kg/mol

Portanto, Rar = 8,31447 / 0,029 ≈ 287 J/(K kg)

Assim, pT vT = pT / ρT = 287 TT. Ou

ρT = 5000000 / (287 294) ≈ 59,3 kg/m3

Da equação #D.1#,

ρT / ρ = [1 + (1,4 − 1) 0,892 / 2]1 / (1,4−1) ≈ 1,444. Resolvendo,

ρ = 59,3 / 1,444 ≈ 41 kg/m3

Segundo #A.1# da página anterior, a velocidade do som é

cs = √(χ Rgás T) = √(1,4 287 253) ≈ 319 m/s

Da definição de número de Mach, obtém-se a velocidade no ponto considerado:

c = Ma cs = 0,89 × 319 ≈ 284 m/s

Da equação da continuidade dos fluidos,

Qm = ρ S c, onde Q_m é a vazão de massa, ρ é massa específica, S é área da seção transversal e c é velocidade. Assim,

S = 1 / (41 × 284) ≈ 8,6 10−5 m2 (ou diâmetro aproximado 1 cm para tubo de seção circular).


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