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Fluidos 07-10 : Forças em escoamentos Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Forças de pressão e de variação de velocidade | Exemplo 01 | Exemplo 02 |

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Forças de pressão e de variação de velocidade

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O escoamento de fluidos em condutos produz esforços mecânicos que, em alguns casos práticos, exigem fixações ou reforços adicionais para não comprometer a estabilidade das tubulações. Aqui são considerados apenas os esforços originários do escoamento e, portanto, as ilustrações gráficas referem-se supostamente a um plano horizontal. Para uma tubulação vertical por exemplo, os esforços na parte inferior devem incluir o peso da coluna de fluido.

Figura 01

Forças devido à pressão

Seja, conforme Figura 01, um escoamento genérico entre dois pontos 1 e 2. Considera-se um volume de controle em forma de paralelepípedo entre esses dois pontos.

A seção transversal em 1 recebe uma força devido à pressão do fluido nesse ponto:

F1 = S1 p1 #A.1#

Os componentes horizontal e vertical são:

F1x = S1 p1 cos α1  #A.2#
F1y = S1 p1 sen α1  #A.3#

No ponto 2 há igualdades similares:

F2x = S2 p2 cos α2  #A.4#
F2y = S2 p2 sen α2  #A.5#

Desde que o conjunto não se move, aplicam-se as condições do equilíbrio estático (ΣFx = 0 e ΣFy = 0):

Fpx + F1x − F2x = 0  #A.6#. Portanto,

Fpx = F2x − F1x = S2 p2 cos α2 − S1 p1 cos α1  #A.7#

Fpy + F1y − F2y = 0  #A.8#. Portanto,

Fpy = F2y − F1y = S2 p2 sen α2 − S1 p1 sen α1  #A.9#

Onde F_p (ou os componentes F_px e F_py) é a força externa que deve ser aplicada para manter o equilíbrio. Na maioria dos casos práticos, a resistência mecânica da tubulação é suficiente para proporcionar essa reação. Caso contrário, a tubulação tende a se mover, o que pode ser observado, por exemplo, em uma mangueira de saída livre.


Forças devido à variação de velocidade

De acordo com a segunda lei de Newton, a força é

F = db/dt  #B.1#

Onde b é o momento linear (ou quantidade de movimento), dado por

Figura 02

b = m c  #B.2#, onde m é massa e c é velocidade (usa-se o símbolo c no lugar de v).

Para um escoamento genérico de um fluido entre dois pontos 1 e 2 conforme Figura 02, pode-se dizer, portanto, que deve haver uma reação F_m para equilibrar a força devido à variação do momento linear.

Das igualdades anteriores,

F = d(m c)/dt  #B.3#

Num regime estacionário a massa não varia. Portanto,

F = m dc/dt = m a  #B.4#, onde a é a aceleração.

Para o intervalo 12 pode-se escrever:

F = m Δc / Δt = (m / Δt) Δc  #B.5#.

Mas m/Δt é a vazão de massa Q_m do escoamento. Portanto, a reação F_m para equilibrar a variação de momento linear é dada por

Fm = − Qm Δc = − Qm (c2 − c1)  #B.6#.

Lembrar que força e velocidade são grandezas vetoriais e assim devem ser calculadas. Em (a) da Figura 02, há uma visualização de Δc. Por trigonometria pode-se calcular o módulo de Δc em função do ângulo  β entre as velocidades em 1 e em 2 e seus respectivos valores:

Δc2 = (c1 − c2 cosβ)2 + (c2 sen β)2  #B.7#. Onde β = α2 − α1.

É mais prático, entretanto, trabalhar com os componentes horizontal e vertical. Da igualdade anterior #B.6#, tem-se em coordenadas:

Fmx = − Qm (c2x − c1x) = − Qm (c2 cos α2 − c1 cos α1)  #B.8#

Fmy = − Qm (c2y − c1y) = − Qm (c2 sen α2 − c1 sen α1)  #B.9#

Do conceito vetorial de velocidade, pode-se concluir que esforços devido à variação do momento linear estarão presentes em qualquer desvio (curva) de fluxo mesmo que o valor absoluto da velocidade seja constante, uma vez que a direção do vetor velocidade sofre mudança na curva.

Exemplo 01

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A Figura 01 indica um bocal de mangueira com saída 2 direta para a atmosfera. Supõe-se que a área da entrada (1) seja 0,005 m² e a pressão 300 kPa relativa. Determinar a força de pressão exercida pelo bocal.

Figura 01

Como é solicitada somente a força de pressão, usam-se as equações #A.7# e #A.9# do tópico Forças de pressão e de variação de velocidade.

Desde que o fluxo é horizontal, α₁ = α₂ = 0, anulando a igualdade #A.9#. E a igualdade #A.7# fica:

Fpx = F2x − F1x = S2 p2 − S1 p1 

Notar que o problema não especifica a área S₂ nem a respectiva pressão p₂. Entretanto, conforme visto em páginas anteriores, saída para atmosfera pode ser considerada pressão nula.

Fpx = F2x − F1x = 0 − S1 p1 = − 0,005 300 = − 1,5 kN 

Exemplo 02

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Na curva 60º da Figura 01, são dados para a entrada: S₁ = 0,002 m², p₁ = 300 kPa relativo. Para a saída: S₂ = 0,0005 m², p₂ = 200 kPa relativo. Determinar as forças de pressão atuantes no elemento.

Figura 01

Usamos as equações #A.7# e #A.9# do tópico Forças de pressão e de variação de velocidade:

Fpx = F2x − F1x = S2 p2 cos α2 − S1 p1 cos α1

Fpy = F2y − F1y = S2 p2 sen α2 − S1 p1 sen α1

Tem-se α1 = 0 e, portanto, sen α1 = 0 e cos α1 = 1

Para α2 = 60º, sen α2 ≈ 0,87 e cos α2 = 0,5

Fpx = 0,0005 200 0,5 − 0,002 300 1 = − 0,55 kN

Fpy = 0,0005 200 0,87 − 0,002 300 0 = 0,87 kN


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