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Fluidos VI-30: Escoamento em condutos Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Alguns exemplos de cálculos com fórmulas vistas em páginas anteriores. Exemplo 01 - Escoamento por gravidade | Exemplo 02: linha de ar comprimido |

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Exemplo 01 - Escoamento por gravidade

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No diagrama da Figura 01 deste tópico, água passa por gravidade do reservatório 1 para o reservatório 2. Supondo um coeficiente de fricção C_f = 0,005 para a tubulação, determinar a vazão do escoamento para:

z₁₂ = 3 m.
L_a = L_b = 2 m.
D_a = 20 mm.
D_b = 60 mm.
Aceleração da gravidade g = 9,81 m/s².
Massa específica da água ρ = 1000 kg/m³.

Figura 01

Notar que este é um problema simplificado porque o valor de C_f é fornecido (conforme visto em páginas anteriores, ele depende da rugosidade do tubo e do número de Reynolds que, por sua vez, depende da vazão. E a vazão é a grandeza que se deseja calcular).

Consideram-se os seguintes coeficientes de fricção para os acessórios (segundo tabela da página Fluidos VI-A0 deste site):

k1a (saída do tanque 1) = 0,50
kab (expansão abrupta de Da para Db) = [ 1 − (20/60)2 ]2 ≈ 0,79
kb2 (entrada do tanque 2) = 1,00

Usando o conceito de resistência segundo tópico Perdas de pressão em termos de alturas,

R1a = 8 0,50 / [π2 9,81 (20/1000)4] ≈ 258 103
Rab = 8 0,79 / [π2 9,81 (20/1000)4] ≈ 408 103 (é considerado o diâmetro menor)
Rb2 = 8 1,00 / [π2 9,81 (60/1000)4] ≈ 6,38 103

Para os trechos de tubulação (C_f = 0,005 conforme hipótese), os valores de resistências são:

Ra = 32 0,005  2 / (π2 9,81 (20/1000)5) ≈ 1033 103
Rb = 32 0,005  2 / (π2 9,81 (60/1000)5) ≈ 4,25 103

Somando os valores de resistências,

R = ∑ Ri = (258 + 408 + 6,38 + 1033 + 4,25) 103 ≈ 1,71 106 s2 m−5.

Então, conforme #B.1# do mesmo tópico, a relação entre a perda de pressão em altura de líquido e a vazão é

h = 1,71 106 Q2.

Aplica-se agora a equação de Bernoulli em forma de alturas (#C.1# do mesmo tópico) para as superfícies 1 e 2:

z1 + h1 + (1/2) c12/g = z2 + h2 + (1/2) c22/g + h.

Considerando referência em 2, z₁ = z₁₂ = 3 m e z₂ = 0.
Também h₁ = h₂ porque p₁ = p₂ = p_atm.
Pode-se supor c₁ = c₂ = 0 porque são superfícies de reservatórios.

Substituindo h da expressão anterior na equação de Bernoulli e simplificando,

3 = 1,71 106 Q2. Portanto, Q ≈ 1,33 10−3 m3/s = 4788 l/h.

Exemplo 02: linha de ar comprimido

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No esquema da Figura 01 é suposto que um compressor (não exibido) mantém o ar no reservatório (1) sob pressão constante de 10 bar absolutos e temperatura 20ºC. A tubulação (aço galvanizado) que alimenta o equipamento (2) tem comprimento total 100 m e diâmetro interno 25 mm. Como acessórios, há duas curvas 90º (k = 0,75 para cada) e dois registros (k = 1 para cada) conforme indicado, além da saída do reservatório 1 (k = 0,34) e entrada do equipamento (k = 1). Deseja-se saber a perda de pressão entre 1 e 2 sabendo que o equipamento consome 3900 newtons por hora (N/h) de ar.

Rigorosamente esse problema não pode ser resolvido com a formulação simples da equação de Bernoulli porque a massa específica varia. Entretanto, instalações práticas de ar comprimido têm perdas de pressão relativamente pequenas em relação à pressão de alimentação, de forma que considera-se ρ constante para simplificar e obter uma razoável aproximação.

Figura 01

No reservatório o ar está a p₁ = 10 bar e t₁ = 20ºC. Precisa-se de um cálculo termodinâmico para determinar a massa específica e viscosidade do ar nessas condições. Considerando ar um gás ideal,

pv / T = constante.

Onde p é pressão, v é volume específico (= 1/ρ, onde ρ é massa específica) e T é temperatura absoluta.

Para p₀ = 1 atm (1,0133 bar) e t₀ = 0ºC (ou T₀ ≈ 273 K), ocorre segundo tópico Propriedades do ar seco sob pressão normal:

ρ0 = 1,293 kg/m3. Portanto, 1,0133 (1 / 1,293) / 273 = 10 (1 / ρ1) / (273 + 20).

Resolvendo, ρ1 ≈ 11,9 kg/m3.

A 1 atm e 20ºC, conforme tópico citado, a viscosidade absoluta é η = 18,20 10−6 Pa s. Desde que a viscosidade absoluta pouco varia com a pressão, pode-se supor que a viscosidade cinemática a 10 bar e 20ºC é esse valor dividido por ρ₁. Portanto,

ν = ν1 = ν2 = 18,20 10−6 / 11,9 ≈ 1,53 10−6 m2/s.

A vazão é dada em peso, 3900 N/h. Em massa e em unidades SI,

Qm = 3900 / (9,81 3600) ≈ 0,11 kg/s.

A área da seção do tubo é

S = S1 = S2 = π (0,025)2 / 4 ≈ 4,9 10−4 m2.

Então, a velocidade do escoamento é

c = Qm / (S ρ) = 0,11 / (4,9 10−4 11,9) ≈ 18,9 m/s.

O número de Reynolds é dado por:

Re = c D / ν = 18,9 (25/1000) / 1,53 10−6 ≈ 3,1 105.

Para tubo galvanizado, segundo tópico Tabela de rugosidades, rugosidade média = 0,15 mm. Portanto, a rugosidade relativa é calculada por:

ε = 0,15 / D = 0,15 / 25 = 0,006.

Usa-se agora a fórmula de Haaland para o coeficiente de fricção do tubo:

1 / √ Cf = −3,6 log [ 6,9 / Re + (ε / 3,71)1,11 ]
1 / √ Cf = −3,6 log [ 6,9 / 3,1 105 + (0,006 / 3,71)1,11 ]

Resolvendo, Cf ≈ 0,0081.

A perda de pressão na tubulação é calculada segundo a fórmula de Darcy-Weisbah:

Δptub = 4 Cf (L / D) (c2 ρ / 2) = 4 0,0081 ( 100 / 0,025 ) (18,92 11,9 / 2) ≈ 275 kPa.

Para os acessórios, usa-se a fórmula do tópico Perdas de pressão em acessórios (somando os valores do coeficiente de atrito k porque os diâmetros e, por conseqüência, as velocidades são idênticos):

Δpacess = k (1/2) ρ c2 = (0,75 + 0,75 + 1 + 1 + 0,34 + 1) (1/2) 11,9 18,92
Δpacess = 4,84 (1/2) 11,9 18,92 ≈ 10,3 kPa.

E a perda total de pressão é a soma de ambas:

Δp = 275 + 10,3 ≈ 285 kPa ou 2,85 bar.


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