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Equações básicas para escoamento ideal e escoamento real
| Topo pág | Fim pág |Em páginas anteriores foi visto que a equação de Bernoulli é o princípio da conservação da energia aplicado a escoamentos unidirecionais em regime estacionário de fluidos. Considera-se inicialmente um fluido ideal, isto é, um fluido que escoa sem perdas por atrito com as paredes do conduto. Seja m uma porção de massa de um fluido ideal em um escoamento. As três parcelas de energia do fluido são:
- Energia potencial
m g z#A.1#. Onde g é a aceleração da gravidade e z é a altura em relação a um plano de referência (é comum o símbolo "h" no lugar de "z").- Energia da pressão
p V#A.2#. Onde p é a pressão do fluido e V é o volume ocupado pela massa m. Tem relação com a entalpia termodinâmica da massa do fluido.- Energia cinética
(1/2) m c2#A.2#. Onde c é a velocidade do escoamento.
Portanto, a soma dessas parcelas deve ser constante para conservar a energia. No caso de escoamentos, é mais conveniente o uso da energia específica, isto é, energia por unidade de massa. Dividindo as parcelas por m e lembrando que
| V | = | 1 | (onde ρ é a massa específica do fluido), | |
| m | ρ |
| g z + | p | + | (1/2) c2 = constante | #B.1#. |
| ρ |
Para fluidos incompressíveis, ρ constante. Multiplicando todas as parcelas por ρ e considerando dois pontos 1 e 2, obtém-se a formulação usual da equação de Bernoulli em grandezas de pressão para fluido incompressível:
ρ g z1 + p1 + (1/2) ρ c12 = ρ g z2 + p2 + (1/2) ρ c22 #C.1#.Se divididas todas as parcelas por ρg, o resultado é a mesma equação em termos de comprimentos (ou alturas):
| z1 | + | p1 | + (1/2) | c12 | = | z2 | + | p2 | + (1/2) | c22 | #C.2#. | |
| ρ g | g | ρ g | g |
De acordo com o princípio da conservação da massa, a equação da continuidade entre dois pontos 1 e 2 do escoamento em regime estacionário é:
Qm = ρ1 S1 c1 = ρ2 S2 c2 #D.1#.Onde Qm é vazão de massa, S é a área da seção transversal e os demais símbolos são massa específica e velocidade conforme já visto.
Se o fluido é incompressível, ρ é constante e pode-se dividir tudo por esse valor:
Q = S1 c1 = S2 c2 #D.2#.Onde Q é a vazão volumétrica.
No caso de fluidos reais, o trabalho de atrito provoca uma perda de pressão do fluido. Assim, pode-se escrever a equação anterior #C.1# na forma:
ρ g z1 + p1 + (1/2) ρ c12 = ρ g z2 + p2 + (1/2) ρ c22 + Δp #E.1#.Onde Δp é a perda de pressão por atrito entre os pontos 1 e 2.
A equação de Bernoulli e a equação da continuidade permitem resolver a maioria dos problemas práticos de escoamentos em condutos (tubulações, dutos e similares). Algumas aproximações práticas são usadas para facilitar os cálculos:
• Líquidos são praticamente incompressíveis e, portanto, a suposição é quase perfeita. Para alguns escoamentos de gases com pequenas variações de pressão como sistemas de ventilação, a incompressibilidade pode ser admitida sem grandes erros nos resultados.
• Reservatórios têm em geral seções transversais muito maiores que as seções das tubulações. Portanto, a superfície de um reservatório de líquido pode ser considerada de velocidade nula.
• Saídas livres para o ambiente podem ser consideradas de pressão igual à da atmosfera. É comum o uso de pressão relativa (diferença com a pressão atmosférica) e, neste caso, pode-se dizer que saída livre tem pressão nula.
Exemplos para escoamento ideal
| Topo pág | Fim pág |Os casos deste tópico são supostamente fluxos ideais. Não são consideradas, portanto, perdas de pressão por atrito nas tubulações e acessórios como conexões e outros.
Exemplo 01: a Figura 01 abaixo representa o corte transversal de um esguicho de estrangulamento simples. Supondo que a saída (2) tem área de 200 mm2 e que a entrada (1) tem área de 600 mm2 e recebe água a 25ºC e pressão 36 kPa relativos, calcular a vazão correspondente a essa situação.
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| Figura 01 |
p1 + (1/2) ρ c12 = p2 + (1/2) ρ c22.Os termos
ρ g z1 e ρ g z2 são cancelados porque os pontos 1 e 2 estão na mesma altura física.
São dados:
S1 = 600 10−6 m2S2 = 200 10−6 m2p1 = 36000 Pa (relativo)p2 = 0 (relativo) porque é saída livre para o ambiente conforme já visto em tópico anterior.A massa específica da água a 25ºC é considerada
ρ ≈ 1000 kg/m3.Então,
36000 + (1/2) 1000 c12 = 0 + (1/2) 1000 c22.Segundo a equação da continuidade (#D.2# do tópico Equações básicas para escoamento ideal e escoamento real),
Q = S1 c1 = S2 c2 = 600 10−6 c1 = 200 10−6 c2. Isolando c2 (c2 = 3 c1) e substituindo na anterior,36000 + (1/2) 1000 c12 = 0 + (1/2) 1000 9 c12 36000 + 500 c12 = 500 9 c12 36000 = 4000 c12
Portanto
c1 = 3 m/s.E a vazão é dada por
Q = S1 c1 = 600 10−6 3 = 1,8 10−3 m3/s = 6,48 m3/h.
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| Figura 02 |
Determinar a pressão no ponto 2 anterior ao registro, supondo que ele é ajustado para obter vazão de 72 m3/h e a superfície do reservatório está a 15 m acima do tubo.
Considerando o tubo como referência de altura, z1 = 15 m e z2 = 0.
A pressão relativa em 1 é nula (
p1 = 0) e a velocidade também é (c1 = 0) porque é superfície de reservatório conforme já visto.A velocidade no ponto 2 pode ser determinada pela equação da continuidade Q = S2 c2.
Massa específica da água considerada ρ = 1000 kg/m3.
Aceleração da gravidade g = 9,81 m/s2.
72 / 3600 = [ π (50 10−3)2 / 4 ] c2. Resolvendo, c2 ≈ 10,2 m/s.Aplicando agora a equação de Bernoulli (#C.1# do tópico Equações básicas para escoamento ideal e escoamento real),
1000 9,81 15 + 0 + 0 = 0 + p2 + (1/2) 1000 (10,2)2. Portanto,p2 ≈ 1000 (9,81 15 − 0,5 104) ≈ 95,2 kPa (relativo).Em alguns casos práticos, é comum especificar pressão em termos de uma altura h de coluna de líquido equivalente. Pode-se, portanto, fazer:
ρ g h = p2 . Substituindo, 1000 9,81 h = 95,2 1000. Resolvendo, h ≈ 9,7 m.
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| Figura 03 |
Usa-se a equação da continuidade para determinar a velocidade do escoamento no ponto 1.
Q = S1 c1 . Substituindo, 5 / 3600 = [ π (30 10−3)2 / 4 ] c1 . Resolvendo, c1 ≈ 1,965 m/s.Para aplicação da equação de Bernoulli, considera-se a referência de altura em 1. Portanto,
z1 = 0 z2 = 25 m.
Pressão relativa em 2 é nula
p2 = 0 e velocidade também c2 = 0.Aceleração da gravidade
g = 9,81 m/s2.0 + p1 + (1/2) 1000 1,9652 = 1000 9,81 25 + 0 + 0 . Resolvendo, p1 ≈ 244 kPa (relativo).Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Mai/2008
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