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Coeficiente de fricção
| Topo pág | Fim pág |Considera-se, conforme Figura 01, um escoamento genérico de uma porção de fluido newtoniano de comprimento L em um tubo reto de diâmetro interno D.
O coeficiente de fricção (ou coeficiente de resistência) é dado pela relação:
| Cf = | tensão tangencial junto à parede | #A.1#. | |
| pressão devido à energia cinética do fluido |
Em algumas referências é usado o símbolo f ou λ, que equivale a
4 Cf.
|
| Figura 01 |
(1/2) c2 ρ #A.2#.Onde c é a velocidade (que deve ser a velocidade média cmédia da distribuição ao longo da seção conforme visto em páginas anteriores) e ρ é a massa específica do fluido.
Supondo a condição de equilíbrio para escoamento uniforme, a diferença de pressão multiplicada pela área transversal deve ser igual à tensão tangencial multiplicada pela área lateral:
Δp π D2/4 = τw π D L. Portanto,τw = Δp D / (4 L) #A.3#.Substituindo os valores em #A.1#,
| Cf = | Δp D | #B.1#. | |
| 2 L ρ cm2 |
Obs: no desenvolvimento de #A.3# pode-se fazer:
π D2/4 = S (área da seção) π D = P (perímetro da circunferência)
Chega-se então a
Δp S = τw P L. Rearranjando, τw = Δp S / (P L).Substituindo em #A.1#, obtém-se outra forma para o coeficiente de fricção:
| Cf = | 2 Δp S | #B.2#. | |
| P L ρ cm2 |
Equação de Darcy-Weisbach
| Topo pág | Fim pág |Pode-se isolar a perda de pressão da igualdade #B.1# do tópico anterior:
| Δp = 4 Cf | L | c2 ρ | #A.1#. | ||
| D | 2 |
O resultado é, portanto, a perda de pressão Δp para o escoamento dada em termos de:
Cf: coeficiente de ficção. L: comprimento do tubo. D: diâmetro interno do tubo. c: velocidade média do escoamento. ρ: massa específica do fluido.
Essa igualdade é conhecida como equação de Darcy-Weisbach e é considerada a relação mais importante para cálculos práticos de escoamentos.
É usual a especificação de perda de pressão em termos de altura física. Conforme equação de Bernoulli, pressão devido à altura é
ρ g h. Substituindo na anterior e isolando h,| h = 4 Cf | L | c2 | #A.2#. | ||
| D | 2g |
Para o caso particular de escoamento laminar, pode-se igualar Δp com a equação de Poiseuille:
p2 − p1 = 128 η L Q / (π D4) = Δp = Cf (L / D) (c2 ρ / 2).Consideram-se:
vazão volumétrica Q = c π D2/4 número de Reynolds Re = c D / ν = c D / (η/ρ)
Chega-se então ao resultado:
| Cf = | 16 | #B.1#. | |
| Re |
Lembrar, entretanto, que isso é válido apenas para escoamento laminar.
Se usada a igualdade #B.2# do tópico anterior, a equação de Darcy-Weisbach fica:
| Δp = Cf | P | L | c2 ρ | #C.1#. | |
| S | 2 |
Onde P é o perímetro e S a área da seção conforme já visto.
Usa-se agora o conceito de raio hidráulico, que é a relação entre a área da seção e o perímetro:
| rh = | S | #D.1#. | |
| P |
Substituindo na anterior,
| Δp = Cf | 1 | L | c2 ρ | #E.1#. | |
| rh | 2 |
Esse conceito permite estabelecer uma equivalência de perda de pressão por unidade de comprimento entre condutos de seção circular e de outras formas geométricas, considerando a mesma velocidade média de escoamento.
Para seção circular, pode ser facilmente deduzido que
rh = D/4. Substituindo esse valor em #E.1#, obtém-se a fórmula anterior #A.1#.Coeficiente de fricção para escoamento turbulento
| Topo pág | Fim pág |Pelas igualdades dos tópicos anteriores, pode-se concluir que, no escoamento laminar, há uma relação simples entre coeficiente de fricção Cf e número de Reynolds. Para o regime turbulento, isso não é mais válido e existem algumas fórmulas e diagramas (teóricos e empíricos) para determinação de Cf. Neste tópico são dados apenas os resultados de alguns, sem maiores detalhamentos.
Um parâmetro auxiliar usado em fórmulas e diagramas é a rugosidade relativa ε da superfície interna do tubo:
| ε = | rugosidade média absoluta | #A.1#. | |
| diâmetro interno |
Valores para alguns materiais podem ser vistos no tópico Tabela de rugosidades.
Seguem dados de algumas fórmulas e diagramas.
| Nome | Equação | Ref | Obs |
| Fórmula de Blasius | Cf = 0,0791 Re0,25 |
#B.1# | Somente para tubos lisos |
| Fórmula de Lee | Cf = 0,0018 + 0,152 Re0,35 |
#C.1# | Somente para tubos lisos |
| Fórmula de Colebrook |  |
#D.1# | Onde λ = 4 Cf. Essa igualdade exige uma iteração porque λ aparece em ambos os lados. |
| Fórmula de Haaland |  |
#E.1# | |
| Fórmula aproximada de Moody |  |
#F.1# | Onde λ = 4 Cf |
| Diagrama de Moody | Gráfico que relaciona o coeficiente de fricção com o número de Reynolds para diversos valores de rugosidade relativa | Ver tópico correspondente |
Exemplos
| Topo pág | Fim pág |Exemplo 01: um fluido escoa com número de Reynolds 20000 em um tubo de diâmetro interno 100 mm e rugosidade média 0,06 mm. Verificar o coeficiente de fricção.
A rugosidade relativa é
ε = 0,06 / 100 = 0,0006. Usando a fórmula #F.1# do tópico anterior,λ = 0,0055 [ 1 + (20000 0,0006 + 1000000 / 20000)1/3 ] ≈ 0,0272684.Portanto,
Cf = λ/4 ≈ 0,00682.Exemplo 02: determinar a perda de pressão para o escoamento de um óleo de viscosidade dinâmica 0,005 Pa s, massa específica 900 kg/m3, velocidade média 4 m/s em um tubo de diâmetro interno 80 mm, comprimento 60 m e rugosidade média 0,02 mm.
Os dados são:
η = 0,005 Pa s
ρ = 900 kg/m3
c = 4 m/s
D = 80 10−3 m
L = 60 m
Rugosidade 0,02 10−3 m.
ε = 0,02 10−3 / 80 10−3 = 0,00025.Re = c D / (η/ρ) = 4 80 10−3 900 / 0,005 = 57600.Do diagrama de Moody,
4 Cf ≈ 0,026. Portanto, Cf ≈ 0,0065.Usando a Equação de Darcy-Weisbach,
Δp = 4 Cf (L / D) (c2 ρ / 2) = 0,026 (60 / 80 10−3) (42 900 / 2) ≈ 140 kPa.Em termos de altura, pode-se igualar (Δp) a (ρ g h) e, portanto,
h = 140 000 / (900 9,81) ≈ 16 m.Exemplo 03 (fonte: prova PF 2004. Reponder Certo ou Errado): Considere um escoamento de água entre dois pontos de um tubo horizontal, que possui diâmetro constante igual a 5 mm e se encontra ao nível do mar, onde a aceleração de gravidade é igual a 9,81 m/s2. Considere ainda que a velocidade de escoamento nesse tubo é de 5 m/s e que existe uma variação de pressão entre os dois referidos pontos de 4.905 N/m2. Nesse caso, sabendo que o fator de fricção é de 0,025 e a densidade da água é de 1 kg/dm3, a perda de carga no tubo é igual a 0,5 m.
Solução: listando os dados e convertendo unidades onde necessário,
c = 5 m/s
D = 5 mm = 0,005 m
Δp = 4905 Pa
f = 4 Cf = 0,025
g = 9,81 m/s2
ρ = 1 kg/dm3 = 1000 kg/m3
Com os dados acima, a relação #A.1# do tópico Equação de Darcy-Weisbach poderia ser usada para calcular o comprimento do tubo. Mas o problema pede a perda de carga em metros que é a variação de pressão em termos de altura:
Δp = 4905 Pa = ρ g h = 1000 9,81 hPortanto,
h = 0,5 m, resposta Certo e não há necessidade do uso da equação de Darcy-Weisbach.Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Mai/2008
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